Dominio integral que es integralmente cerrado, unidimensional y noetheriano

Question

He intentado construir ejemplos de anillos que coinciden con todas las propiedades de la definición de un dominio Dedekind, excepto una. (Esta es una vieja pregunta de teoría de números del sitio web de Berkeleys MGSA).

El único punto de partida que se me ocurre sería

$R:=K[X_1,X_2,\ldots]$

para $K$ un campo. Esto es claramente integralmente cerrado ya que cualquier relación polinómica está contenida en $K(X_1,\ldots,X_n)$ para un tamaño lo suficientemente grande $n$ y $K[X_1,\ldots,X_n]$ es integralmente cerrado siendo un UFD.

El problema es entonces deshacerse de suficientes ideales de este anillo $R$ para que su dimensión sea 1, pero no consigo averiguar qué hacer.

¿Alguien tiene alguna otra idea de anillos que puedan funcionar como punto de partida? El anillo polinómico con un número infinito de variables es prácticamente el único ejemplo que conozco de cómo construir un anillo no etereo que siga siendo un dominio.

Answer 1

El anillo de todos los enteros algebraicos es integralmente cerrado, unidimensional y no noeteriano.

Es integralmente cerrado ya que se define como el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en $\overline{\mathbb{Q}}$ .

Es unidimensional ya que es una extensión integral de $\mathbb{Z}$ y si $S/R$ es una extensión integral de dominios entonces $S$ y $R$ tienen la misma dimensión de Krull.

No es noetheriano ya que, por ejemplo, $\{(2^{\frac{1}{2^n}})\}_{n=1}^{\infty}$ es una cadena infinita estrictamente ascendente de ideales.