¿Qué es el diferencial de un mapa de traslación en un grupo algebraico?

Question

Supongamos que $G$ es un grupo algebraico, y $\rho_x\colon G\to G$ es el mapa de traducción $\rho_x(g)=gx$ . ¿Qué es? $(d\rho_x)_1\colon T_1(G)\to T_x(G)$ ?

Si $a\in T_1(G)$ entonces $(d\rho_x)(a)=a\circ \rho_x^\ast$ Así que si $f\in k[G]$ es una función sobre $G$ entonces $$ (d\rho_x)(a)(f)=a(\rho_x^\ast(f))=a(f\circ\rho_x). $$

Sin embargo, ¿hay alguna forma de conseguir algo más significativo desde el punto de vista computacional? ¿Como que los diferenciales de la multiplicación y la inversión se correspondan con la suma y la multiplicación por un signo negativo?

Answer 1

Me gusta usar números duales para calcular con álgebras de Lie. Si se considera un grupo algebraico $G$ sobre un anillo conmutativo $k$ como un functor, entonces el haz tangente es $G(k[\epsilon]/\epsilon^2)$ . El espacio tangente habitual es el subfuntor cuyos elementos son de la forma $e + A\epsilon$ donde $e\in G$ es la identidad.

Así que el diferencial de la multiplicación se puede calcular mediante:

$(e + A\epsilon)(e + B\epsilon) = e + (A + B)\epsilon.$

Por lo tanto, la multiplicación corresponde a la suma en el espacio tangente.

El diferencial de derecho se traduce por $x$ es entonces

$(e + A\epsilon)\mapsto (e + A\epsilon)x = x + Ax\epsilon$

que ahora está en el espacio tangente a $x$ . Así que el mapa es sólo $A\mapsto Ax$ .