$E|A_1|<\infty$ y eventos de i.o. para $\left\{A_n\right\}$ son iid

Question

Dado $\left\{A_n\right\}$ son i.i.d. Demuestre que $E(|A_1|)< \infty$ $\iff \ P\left\{|A_n| > n \ \ \text{i.o}\right\} = 0$ .

Mi intento: ( $\Rightarrow$ ) Supongamos que $E(|A_1|)< \infty$ . Desde $\left\{A_n\right\}$ son i.i.d, por la Ley Fuerte del Gran Número, $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} |A_i|\rightarrow E(|A_1|)$ casi con toda seguridad. Esto equivale a $\forall\ \epsilon > 0$ , $\lim_{n\rightarrow \infty} P(\cup_{k\geq n}|(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} |A_i|)-E(|A_1|)|\geq \epsilon)= 0$ . Esto implica que para un tamaño suficientemente grande $k$ , $\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k} |A_i| - E(|A_1|)\ <\ \epsilon$ . Como no sabemos si $E(|A_1|) > 1$ o no, no podemos elegir $\epsilon = 1-E(|A_1|)$ para conseguir $|A_k|$ delimitada por $k$ . ¿Podría alguien ayudar con esta parte?

( $\Leftarrow$ ) Si $P\left\{|A_n| > n \ \ \text{i.o}\right\} = 0$ Esto implica, para un tamaño suficientemente grande, que $k$ , $k$ es fijo, $|A_k|< k$ . Esto implica $E(|A_k|) = E(|A_1|) < E(k) = k < \infty$ (la primera igualdad se debe a $\left\{A_n\right\}$ son iid).

Mi pregunta: ¿Podría alguien ayudar a completar mi "solución" anterior para la dirección de avance? Si estoy en el camino equivocado, por favor ayudar a señalar que a mí.

Answer 1

La parte delantera es una consecuencia fácil del lema de Borel-Cantelli. Primero veamos que: $$ \mathbb E(|A_1|)\geq \sum_{n=1}^\infty \mathbb P(|A_1|>n). $$ Usando la suposición i.i.d: $$ \sum_{n=1}^\infty \mathbb P(|A_1|>n)= \sum_{n=1}^\infty \mathbb P(|A_n|>n). $$ Así que $\sum_{n=1}^\infty \mathbb P(|A_n|>n)<\infty$ y por tanto del lema de Borel-Cantelli: $$ \mathbb P(|A_n|>n , \rm{ i.o. })=0. $$