Deje que$U$ esté abierto en un grupo topológico, G. ¿Por qué entonces es necesariamente cierto que$UH$ donde$H$ es un subgrupo de$G$ abierto en$G$? (Creo que no entiendo la idea de un grupo topológico incluso después de leer su definición en Wiki. Agradecido si alguien pudiera explicar la idea). Gracias.
Respuestas
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markedup
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Como saben, en cualquier espacio topológico, las uniones arbitrarias de conjuntos abiertos están abiertas. $UH$ es una unión de cosets,$UH=\bigcup_{h\in H} Uh$. Ahora, debe verificar su comprensión demostrando que cada uno de los cosets$Uh$ está abierto. Si no puede, debe tratar de identificar su dificultad con las definiciones y preguntar sobre eso. Repetir la definición de Wikipedia aquí no es algo que valga la pena hacer.
user13846
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Esta no es una respuesta completa, pero solo un comentario. Deje $h$ $H$ y considerar el conjunto $U_h = h\cdot U$$G$. Supongamos que hemos demostrado que $U_h$ está abierto. Entonces
$$HU = \bigcup_{h\in H} U_h$$ es abierto, porque la unión de subconjuntos abiertos es abierta.
Por lo tanto, tenemos que demostrar que $U_h$ está abierto en $G$ cualquier $h$$H$. Probablemente esto se sigue de la definición de un grupo topológico. Que es, por definición, la multiplicación por $h$ es un mapa continuo de $G$ a sí mismo. Por lo tanto, usted tiene un mapa continuo de$U$$U_h$. Es este mapa abierto?
