Primero de todo, debo definir multiplicativo mapa
Un mapa de $f:\Bbb{Q}^\ast\to\Bbb{Z}$ se dice que multiplicativo mapa si $f(ab)=f(a)f(b)\ \forall a,b\in \Bbb{Q}^\ast $aquí $\Bbb{Q}^\ast=\Bbb{Q}\backslash\{0\}$.
Supongamos por el contrario, es contable, y dejar que el contable de la colección de todos los multiplicativo mapas de ser escrito por la enumeración $f_1, f_2,\ldots , f_n,\ldots$
Ahora, quiero construir otro multiplicativo mapa de $\psi:\Bbb{Q}^\ast\to\Bbb{Z}$ el uso de los mapas de $f_1, f_2,\ldots , f_n,\ldots$ pero $\psi\ne f_i\ \forall i\in\Bbb{N}$. Pero no puedo construir un mapa.
¿Hay algún otro método para resolver este problema? ¿Alguien puede sugerirme una manera adecuada?
Gracias por la ayuda por adelantado.
Respuesta
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Tenga en cuenta que $f(a)$ admite una inversa, o $f(a)=0$. Así que realmente sólo hay tres opciones para $f(a)$, que se $-1,0,1$. Por otra parte, $f(1)\neq -1$.
Deje $\Bbb P$ denota el conjunto de números primos $\{2,3,5,\dots\}$ y deje $p_n$ denotar la $n$th prime, comenzando con $p_0=2$.
Para $A\subseteq\Bbb P$, definir $f_A(1)=1, f_A(-1)=-1$ e $f_A(p)=1$ si y sólo si $p\notin A$, e $f_A(p)=-1$ lo contrario. Afirmo que esto es suficiente para determinar el $f_A$ totalmente.
Para cada $k\in\Bbb N$, escribir $k$ en su descomposición en números primos, a continuación, $f_A(k)$ está determinado exactamente por los valores dados.
Para cada $k\in\Bbb{Z\setminus N}$, definir $f_A(k)=-f_A(-k)$. Desde $f_A(-1)=-1$, esta definición es todavía multiplicativo.
Siguiente para $k\in\Bbb Z\setminus\{0\}$ definir $f_A(\frac 1k)=f_A(k)$.
Finalmente, llegamos $f_A(\frac nm)=f_A(n)\cdot f_A(\frac 1m)$.
Ahora basta probar que si $A\neq B$, a continuación, $f_A\neq f_B$. Pero eso es fácil. Y observar que $\mathcal P(\Bbb P)$ es de hecho incontables.
