¿Qué es el álgebra de Clifford?

Question

Estoy leyendo un libro sobre el álgebra de Clifford para físicos. No acabo de entenderlo conceptualmente aunque sé hacer la mayoría de las manipulaciones algebraicas. ¿Puede alguien enseñarme qué es realmente el álgebra de Clifford? (Tened en cuenta que no sé álgebra abstracta, nada excepto algo de teoría de grupos). ¿Tiene sentido escribir la suma de un escalar y un bivector en el producto de Clifford? Ambos son cosas muy diferentes.

Answer 1

El álgebra de Clifford (o "geométrica") es un álgebra "generada" por un espacio vectorial con una forma bilineal con algunas propiedades especiales. Hay varios focos de físicos y matemáticos que experimentan y refinan cómo utilizar estas álgebras para hacer algo de geometría.

Si quieres, puedes pensar en el espacio real 3D como tu espacio vectorial $V$ con su producto interno regular, y ahora imagina que está dentro de un álgebra $Cl(V)$ . (Estoy omitiendo muchos detalles en aras de la simplicidad.) Ya que $V$ es tridimensional, por lo que se espera $Cl(V)$ tener al menos esa cantidad de dimensiones, pero resulta que será $2^3$ dimensional (y $2^n$ dimensional para un $n$ dimensional $V$ .)

Desde $V$ está dentro de un álgebra $Cl(V)$ hay una multiplicación definida entre cada dos elementos de $Cl(V)$ y, en particular, entre dos elementos cualesquiera $x,y$ de $V$ . De hecho, las cosas están preparadas para que $v^2=v\cdot v$ donde el lado derecho es el producto interno en el espacio 3, y $v\in V$ .

Está claro que hay muchos más elementos en $Cl(V)$ que sólo los de $V$ . La pregunta es: ¿tienen una interpretación útil? La respuesta es "sí", debido a la forma en que están establecidas las cosas. Resulta que subespacios de $V$ pueden representarse como productos de elementos de $V$ en $Cl(V)$ . Como la multiplicación está definida en todas partes, ahora puedes "multiplicar cosas en $V$ con subespacios de $V$ ".

Una vez más, debido a la forma en que las cosas están establecidas, se puede utilizar esta multiplicación para hacer un montón de cosas útiles. Por ejemplo, puedes determinar si un elemento de $V$ está en un determinado subespacio, o puede reflejar un vector en un subespacio, o hacer rotaciones sobre un vector en $V$ , todo ello utilizando el producto de esta álgebra (y un par de productos derivados que no voy a mencionar.)

Voy a añadir aquí que cuando se deja de utilizar el producto interno habitual en $\Bbb{R}^3$ y se pasa a la forma bilineal cero (que sólo dice " $x\cdot y=0$ para todos $x,y\in V$ ") se obtiene exactamente el álgebra exterior de $V$ otro famoso y útil tema de álgebra-geometría.

Esa es una introducción muy escasa. Sin embargo, puedo recomendar muchos recursos sobre el tema. Si está muy orientado a la física, creo que le gustará Macdonald's pdfs en línea sobre el tema. Son muy fáciles de leer. También hay un texto (que he ojeado pero no leído todavía) de Doran y Lasenby llamado "Álgebra geométrica para físicos". Otro buen enlace , e incluso un curso del MIT , otra buena: Lundholm-Svensson , buena información general .

Si alguna vez quieres leerlo desde una perspectiva algebraica, las álgebras de Clifford aparecen en el libro de Jacobson Álgebra básica volúmenes (uno o ambos), y también aparecen en los volúmenes de Artin Álgebra geométrica . (Sin embargo, hay que tener en cuenta que el título de Artin está pensado para ser tomado literalmente, y no se refiere realmente a lo que Doran, Lasenby y otros se refieren).

En Internet no faltará información sobre el "álgebra geométrica", ya que en realidad no es una popular tema visible, y los promotores deben mantener la información en libre circulación. Yo digo que es no es popular "no es muy visible" en la comunidad de las matemáticas puras, pero seguro que es un tema interesante y divertido. Imagino que a medida que los físicos y los informáticos sigan encontrando aplicaciones, la comunidad de matemáticos puros acabará interesándose también.

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Por cierto, he visto que has anotado " $ab=a\cdot b+a\wedge b$ " y comentó el producto exterior. La cuña es uno de los productos que he omitido mencionar por ahora. Comparte muchas propiedades con el producto exterior-álgebra-exterior.

La identidad $vw=v\wedge w+v\cdot w$ trabaja para $v,w\in V$ "por cómo están montadas las cosas". Sorprendentemente, la identidad también funciona si se ponen otras cosas además de los vectores.

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También he pensado en dar lo que me parece que son los casos más elementales que se pueden empezar a ver. Ciertamente, el espacio tridimensional con el producto interior habitual (+++) es por donde hay que empezar. Más adelante, podrías interesarte por el caso en el que la firma del producto interior es (+---) o (-+++).

Sin embargo, antes de hacer el espacio 4D, es posible que quieras descifrar cómo $\Bbb{C}$ y $\Bbb{H}$ son álgebras de Clifford para un espacio vectorial real unidimensional con firma (-), y para un espacio bidimensional con firma (--) respectivamente.

Answer 2

Consideremos un espacio 3d euclidiano.

El álgebra de Clifford en este espacio consiste en multivectores que tienen 8 componentes linealmente independientes. Estos componentes se pueden desglosar de la siguiente manera:

• 1 componente escalar
• 3 componentes vectoriales
• 3 bivector componentes, que corresponden a los 3 planos linealmente independientes en un espacio 3d
• 1 trivector o pseudoescalera que corresponde al volumen unitario orientado en el espacio 3d

(Observe el patrón 1,3,3,1. Un espacio de N dimensiones tendrá $2^n$ componentes para sus multivectores, desglosados así como según el triángulo de Pascal).

Dado que todos estos componentes pertenecen a un único objeto multivectorial, se hace tiene sentido decir que se pueden sumar escalares y bivectores. Sólo tienes que sumar los componentes correspondientes como lo harías con el álgebra vectorial tradicional.

El álgebra de Clifford del espacio 3d es el álgebra de estos multivectores, por lo que tienes sumas y restas como siempre. El álgebra de Clifford también hace posible varios productos de multivectores, que se prestan a interpretaciones geométricas sencillas.

Más allá de eso, si tiene una pregunta más específica, estaré encantado de intentar responderla. En cuanto a decir qué es el álgebra de Clifford (desde la perspectiva de un físico de poca monta), esto es todo lo que puedo decir. Por qué es útil o cómo se utiliza a nivel práctico es otra cuestión totalmente distinta.

Answer 3

Cuando leí por primera vez sobre el "álgebra geométrica" y luego bajé por la madriguera del conejo hacia el álgebra exterior, el álgebra de Clifford y demás, me llamó la atención la mezcla de números y geometrías. También me entusiasmó ver que se trataba de una forma diferente de pensar y que ofrecía una nueva visión de cómo se puede enseñar la física y la ingeniería.

En la mayor parte de la educación STEM, se nos empuja hasta el cálculo (todos los niveles) y se recogen algunos cursos de estadística y álgebra lineal. Al mismo tiempo, se utilizan vectores para representar la mecánica y los campos. Lo que hace el álgebra geométrica (y el álgebra de Clifford) es ampliar estos conceptos y mostrar el funcionamiento interno de una base matemática más amplia en la que los vectores adquieren un nuevo significado. Por ejemplo, en ingeniería, utilizamos el producto cruzado para multiplicar dos vectores y obtener cosas como un vector de par a partir de un vector de fuerza y un vector de radio. Esto se limita a las 3D. Cuando se utiliza el álgebra geométrica, se descubre que el "producto cuña" es aplicable y no se limita a las 3D.

Para entender cómo se pueden utilizar diferentes geometrías en la misma ecuación, hay que considerar la generalización del vector. Un vector en 3D es la suma de tres componentes independientes. Cada componente tiene un número escalar, $x$ asociado a un vector unitario, $v$ . Nótese que los vectores unitarios mantienen los números separados. Al escribirlo, el vector resultante podría tener el siguiente aspecto $$ R = x_1 [v_1] + x_2 [v_2] + x_3[v_3] $$ En esta ecuación, no se sumaría $x_1$ a $x_2$ ya que no están asociados al mismo vector unitario. Además, los vectores unitarios son geométricamente distintos. Esto se desprende del álgebra vectorial.

Otra interpretación es que hay diferentes tipos de adición. La adición numérica es cuando se suman números. La adición geométrica es cuando se suman geometrías. Para ser más claro en la introducción, la adición geométrica debería ser un símbolo diferente, como círculo-plus, $\oplus$ para distinguirlo visualmente de la suma numérica, $+$ . Si se hiciera esto, la ecuación anterior sería (se utiliza el círculo más) $$ R = x_1 [v_1] \oplus x_2 [v_2] \oplus x_3[v_3] $$ Esto podría extenderse a vectores de mayor dimensión.

Así que si te sientes cómodo sumando diferentes vectores, entonces puedes aplicar esta idea para sumar diferentes geometrías, como puntos, vectores, bi-vectores, etc. Hay todo un conjunto de geometrías que se pueden construir multiplicando vectores (no como productos punto y cruz) con la multiplicación extendida que proporciona el producto cuña. Con este comienzo, puedes empezar a ver el impacto de los números y los elementos geométricos y cómo pueden jugar un papel en las mismas ecuaciones.

Answer 4

Desde el punto de vista de "lo que hace que funcione", aquí hay una función que genera álgebras de Clifford con cualquier firma, en pseudocódigo:

for nbr_generators = 0 to Whatever \n

max = 2^n - 1
for signature = 0 to max   // all possible signatures +++ to ---...
   for i = 0 to max        // multivectors in LEXICOGRAPHIC order !
      for j = 0 to max 

         k = ( i XOR j )
         sign_ac = anticommuting_sign( i, j )
         sign_sig = signature_sign( i, j, sig )
         net_sign = sign_ac * sign_sig 
         Result[ k ] = A[i] * B[j] * net_sign  // the product
         Cayley_table[i,j] = net_sign 

signature_sign( i, j, sig ) // el bit está en ON si el generador al cuadrado = -1

  squares = ( i AND j )
  negative_squares = ( squares AND sig )
  if ( bitcount( negative_squares ) ) is odd
     return -1
  return 1

signo_anti-conmutador( i, j )

  convert i and j to strings - each ON bit to a letter
  concatenate string_j to string_i
  do a bubble sort counting exchanges of distinct letters
  if nbr_exchanges is odd
     return -1
  return 1