Función meromórfica con ceros en círculo unitario.

Question

Estoy un poco confundido sobre esta cuestión. He estado pensando, y quería tal vez de aplicar el Lema de Schwarz, y o, el argumento principio, pero realmente no tengo idea de cómo empezar. La pregunta es:

¿Existe una función de meromorphic en el plano complejo cuyo conjunto de ceros es precisamente la unidad de círculo ?

Cualquier sugerencias o comentarios se agradece : )

Originalmente tenía holomorphic, que fue un error. Aunque no sé si meromorphic va a hacer una diferencia.

Answer 1

No, esa función de meromorphic no puede existir.

Principio de identidad : Vamos a $D$ abierto conectado subconjunto de $\mathbb{C}$ y deje $f, g \in \text{Hol}(\mathbb{D})$. Si el siguiente conjunto $$\big\{ z \in \mathbb{C} :~~ f(z) = g(z) \big\}$$ tiene un no-aislado punto, a continuación,$f \equiv g$$D$.

Respuesta a tu pregunta : Supongamos $f(z)$ es una función de meromorphic tal que $f(z) = 0$ todos los $z \in \mathbb{C}$ satisfacción $|z| = 1$. Deje $E$ el conjunto de los polos de $f$. A continuación,$f \in \text{Hol}(\mathbb{C}\backslash E)$. Aplicar el Principio de Identidad a $f(z)$ $0(z)$ i.e la función definida a ser cero en $\mathbb{C}\backslash E$. Desde el círculo unitario claramente no tiene puntos aislados, llegamos a la conclusión de que $f \equiv 0$$\mathbb{C}\backslash E$.

Moraleja : Los ceros de la no-constante de meromorphic funciones están aislados y el Principio de Identidad es un corolario de este hecho.

Answer 2

Si$f$ es holomorfo en$\mathbb{C}$, entonces para$|\zeta| \lt 1$ $$f (\ zeta) = \ frac1 {2 \ pi i} \ oint_ {| z | = 1} \ frac { f (z) dz} {z- \ zeta} = 0$$