Determine$ax^4 + by^4$ para el sistema de ecuaciones

Question

Encontré el siguiente problema recreativo sin más especificación para$a,b$.

Deje que$x,y$ sean números reales st

$a + b = 6$,$ax + by = 10$,$ax^2 + by^2 = 24$,$ax^3 + by^3 = 62$.

Determine$ax^4 + by^4$.

Soy nuevo en los ejercicios de resolución de problemas como este y, por lo tanto, aprecio los diversos enfoques de este problema, así como los comentarios sobre cómo abordar estos tipos de ejercicios.

Answer 1

$$\color{red}{3 \cdot 62 - 24 = 162}. $$$ $3 \cdot 10 - 6 = 24.$ $$$3 \cdot 24 - 10 = 62.$ $

Esta es la observación de @Ross, $$(xy-1)(x-y)^2 = 0.$$ Ross points out in comment (below) that an ingredient was $44 = abxy (xy) ^ 2,$ para que $$a \neq 0, b \neq 0, x \neq 0, y \neq 0, x \neq y. $ $ Finalmente,$$ xy = 1.

El simple hecho que obtuve fue$$ a (x^2 - 3x+1) + b ( y^2 - 3 y + 1) = 0.

Tenemos$xy = 1.$ Si$x^2 - 3 x + 1 \neq 0$ y$y^2 - 3 y + 1 \neq 0,$ $$y^2 - 3 y + 1 = (x^2 - 3 x + 1) / x^2,$$$ x^2 ( y^2 - 3 y + 1 ) = x^2 - 3 x + 1. a x^2 (y^2 - 3 y + 1) + b (y^2 - 3 y + 1) = 0,$$ (a x^2 + b)(y^2 - 3 y + 1) = 0. Cambie las letras, obtenemos% PS

Muy bien, $$(a + b y^2)(x^2 - 3 x + 1) = 0. $$$ $a x^2 + b y^2 = 24, a x^2 + b = 0.$ $También$$b(y^2 - 1) = 24.$ $Agregar,$$a ( x^2 - 1) = 24.$ $Sin embargo, sabemos que$$a(x^2 - 1) + b ( y^2 - 1) = 48.$ $Esto contradice el supuesto$$a x^2 + b y^2 - a - b = 24 - 6 = 18.$

$x^2 - 3 x + 1 \neq 0.$ $$$\color{red}{ x^2 - 3 x + 1 = 0}$ $

Answer 2

Podemos comenzar con $$(ax + by) (ax ^ 3 + by ^ 3) - (ax ^ 2 + by ^ 2) ^ 2 = 620-24 ^ 2 = 44 = abxy (xy) ^ 2 \\ ( a + b) (ax ^ 2 + by ^ 2) - (ax + by) ^ 2 = 44 = ab (xy) ^ 2$$ Which shows $xy = 1$ Now, if nothing else, you can rewrite the middle two in terms of $a, x$ y resuélvalos .

Answer 3

Esta no es una buena solución

Teniendo en cuenta las ecuaciones $$a+b-6=0\tag 1$$ $$ax+by-10=0\tag 2$$ $$ax^2+by^2-24=0\tag 3$$ $$ax^3+by^3-62=0\tag 4$$ Let us eliminate the variables one at the time and express them as a function of $a$.

Desde $(1)$, $b=6-a$. Reemplazando en$(2)$ y asumiendo$a\neq6$, tenemos $$a x+(6-a) y-10=0 \implies y=\frac{a x-10}{a-6}\tag 5$$ Replacing $b$ and $y$ in $(3)$, we have $$\frac{a \left(-6 x^2+20 x-24\right)+44}{a-6}=0\implies x_{\pm}=\frac{5a\pm\sqrt{11} \sqrt{6 a-a^2}}{3 a}\tag 6$$ (assuming $a \ neq 0$).

Usemos$x_+$ y reemplacemos en$(4)$ para terminar con $$\frac{22 \left(\sqrt{(6-a) a}-2 \sqrt{11} a+6 \sqrt{11}\right)}{9 \sqrt{(6-a) a}}=0 \tag 7$$ So, we need to solve $$\sqrt{(6-a) a}=2 \sqrt{11} a-6 \sqrt{11} \tag 8$$ Squaring both sides $$-a^2+6a=44 a^2-264 a+396\implies 45 a^2-270 a+396=0 \implies a_{\pm}=\frac{1}{5} \left(15\pm\sqrt{5}\right)$$ Considering $a_ +$ and going backwards, we should get $$a=3+\frac{1}{\sqrt{5}}\qquad b=3-\frac{1}{\sqrt{5}}\qquad x=\frac{1}{2} \left(3+\sqrt{5}\right)\qquad y=\frac{1}{2} \left(3-\sqrt{5}\right)$$ and then the value of $(ax ^ n + by ^ n)$ for any $n$.

Bastante laborioso, ¿no es así?

Gracias por la diversión.

Answer 4

Prefiero agregar otra respuesta para el caso más general.

Considere las cuatro ecuaciones que escribiré $$ax^{i-1}+b y^{i-1}=c_i \qquad (i=1,2,3,4)$$ Manipulating them, we can show that $xy = \ lambda$ and $ab = \ mu$ using $$\lambda=\frac{c_3^2-c_2 c_4}{c_2^2-c_1 c_3}$ $$$ \ mu = - \ frac {\ left (c_2 ^ 2-c_1 c_3 \ right) ^ 3} {(4 c_4 c_2 ^ 3-3 c_3) ^ 2 c_2 ^ 2-6 c_1 c_3 c_4 + c_1 \ left (4 c_3 ^ 3 + c_1 c_4 ^ 2 \ right)} $$This makes$$ a_{\pm}=\frac{1}{2} \left(c_1\pm\sqrt{c_1^2-4 \mu }\right) $$Using $ a _ +$ , this gives$$ b=c_1-a\qquad x=\frac{c_2+\sqrt{c_2^2-4 \lambda \mu }}{2 a}\qquad y=\frac \lambda x $$Using the given values for the $ c_i$'s, this leads to$$ \lambda=1\qquad \mu=\frac{44}{5}$% PS

Ahora, juega con los números de tu elección.