Evaluando la siguiente integral:$ \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} \text{ d}x$

Question

Para esta integral indefinida, decidí usar la sustitución$x = \cosh u$ y terminé con un término$| \sinh u |$ en el denominador con el que no estoy seguro de tratar:$$\int \dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} \text{ d}x \ \overset{x = \cosh u}= \int \dfrac{\cosh^2 u \cdot \sinh u}{\left| \sinh u \right|} \text{ d}u$ $ ¿Cómo ¿Me ocupo del denominador?

Answer 1

Alternativamente, podemos resolverlo simplemente haciendo un truco:

PS

Entonces vamos a$$\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2 - 1}} = \dfrac{x^2 - 1 + 1}{\sqrt{x^2 - 1}} = \sqrt{x^2 - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}.$.

Answer 2

$\dfrac t{|t|}=\pm1$, dependiendo de si t es positivo o negativo. Ahora, $\displaystyle\int a\cdot f(u)~du=a\cdot\int f(u)~du$.

En este caso, $a=\pm1$. En lo que respecta a la integración real, utilice$\cosh^2x=\dfrac{1+\cosh2x}2$

Answer 3

Primero, suponga que$x=\tan u$, después de reemplazar este valor,$dx=du/(\cos u)^2$ en términos de$u$ variable, la integral será$$I=\int\cos u (\sin u)^2 du.$ $

Luego reemplaza$sin u= v$, debes encontrar ese$\cos u du=dv$. Con v variable, tendremos$I=\int v^2 dv$ y el resultado (respuesta) en términos de$v$ variable es$\tfrac{v^3}3+c$ regresando a$u$ variable, tenemos esta solución$\tfrac{\sin^3 u}3+c$ y al reemplazar$u$ por su valor$\arctan x$, el resultado es:$$\boxed{\displaystyle\dfrac13 \sin ^3(\arctan x)+c}$ $