Hay Grupos de Estrictamente de los números Primos

Question

La motivación

Desde Euclides prueba de la infinitud de los números primos, la estructura y las propiedades de los números primos siempre ha fascinado a los matemáticos. Esto lleva a un gran trabajo en sus propiedades y distribución, tales como el Teorema de los números Primos. Sin embargo, mucho del estudio de la estructura de los números primos se realiza a través de la Teoría Analítica de números, donde gran parte del trabajo se realiza utilizando las herramientas de Análisis.

Soy consciente de la Teoría Algebraica de números (mi objetivo es tener este ser mi campo de experiencia así que me perdone si tal vez esta pregunta viene de mi ignorancia), pero no he visto a grupos conformados estrictamente de los números primos. Más bien, uno ve la estructura de los números primos$-$o incluso el número de campos en general más bien$-$estudió a través del uso de la Geometría Algebraica, algebraicas número de campos, Teoría de Iwasawa, grupo cohomologies, et cetera.

Sin embargo, estos emplean nociones mucho más "amplio", tales como campos (mayor especial de anillos que añadir más estructura que sólo la noción de un grupo). Uno no ve a un grupo que consiste estrictamente de los números primos.

Mis Intentos

Por ejemplo, en mi investigación en absoluto de los números primos (también conocido como permutación de los números primos), cíclica de los números primos, y palindrómicas de los números primos, a menudo me veo obligado a largo cálculos con grandes $O$'s y de gran escala aritmética modular (algunas de las herramientas básicas de la Teoría Analítica de números). Sería bueno formar un grupo de estos números primos y trabajar con ellos desde una perspectiva de grupo en su lugar. Para aquellos que no saben, absoluto de los números primos son los números primos cuyo dígito permutaciones son también el primer y cíclico de los números primos son aquellos cuya permutaciones cíclicas de dígitos, siendo el primer. Incluso con esta estructura de permutaciones que actúan sobre los números primos, nunca he sido capaz de encontrar una operación en el conjunto de los números primos que se crea un grupo de$-$, sin embargo un anillo (de alguna manera no trivial que se centra en los números primos en la mano y al final no termina reflejando la estructura de $\mathbb{Q}$, $\mathbb{Z}$, o $\mathbb{R}$).

Cuando di un paso hacia atrás y trató de hacer un grupo de los números primos en general, cualquier estructura que intentó crear fracasado con cierre bajo el funcionamiento o en la recíproca. La consulta de la literatura ha dado nada. Por ejemplo, el intento de crear un grupo de números primos en virtud de la multiplicación ordinaria carece de cierre. Por otra parte, quisiera inversos? A continuación, la adición de "primos" de la de la forma $\frac{1}{p}$ realmente no dar a nadie nada útil. De conmutación o incluso la adición de ordinario, además crea $\mathbb{Q}$, lo que por supuesto no es nada nuevo. Obviamente, me he encontrado con gente que estudia los números primos mediante el uso de grupos, anillos y campos. Sin embargo, los grupos, anillos, o los campos que emplean no son "principalmente" de los números primos. El uso de estos objetos parece como una gran manera de acercarse a los números primos.

Como Alexey Sosinsky puso,

"La noción de un "grupo", visto hace sólo 30 años como el epítome de la sofisticación, es hoy uno de los conceptos matemáticos más utilizados en la física, la química, la bioquímica y de la matemática misma."

Pregunta

Para evitar una pregunta sin respuesta o que requieren años de investigación, mi pregunta es esta: ¿hay ejemplos de grupos que consta de sólo números primos en la literatura?

Esto podría significar un conjunto $G=\{p \mid p \text{ prime}\}$ en algunas natural o natural de la operación en un juego como este $G=\{\frac{1}{p}\mid p \text{ prime}\}$. Ejemplos de anillos o los campos de "la mayoría" de los números primos también sería genial. Para aclarar la posible falta de rigor de "la mayoría de los números primos", dice el grupo, anillo, o en el campo debe tener sólo un número finito de elementos que no son de primera. Lo que significa que son primos, algo de la forma $\frac{1}{p}$ donde $p$ es primo junto con la ordinaria de los números primos, etcétera. (básicamente, que "mira" como un primer como en los conjuntos de $G$ anterior). Si usted puede producir un ejemplo en la literatura, por favor, ser explícito en cuanto a su construcción o proporcionar una citación. Gracias.

EDIT: Según lo sugerido por los comentarios y Marie, el grupo de operación debe llegar de forma natural y sin duda trivial.

Answer 1

Como se escribe tu pregunta, parece ser indeterminado: usted quiere que un grupo de la ley en el set $\mathcal{P}$ de los números primos. Como ya se ha señalado, no hay problema: cada conjunto no vacío admite un grupo de la ley, y para un countably conjunto infinito esto es especialmente fácil de hacer (y no requiere el Axioma de Elección): basta con elegir un bijection a su favorito countably infinita grupo de transporte y el grupo de derecho de uso de este bijection. Por lo tanto usted puede hacer un grupo con el conjunto subyacente $\mathcal{P}$ que es: cíclico, finitely generado abelian pero no cíclico, infinitamente generado abelian, nilpotent de cualquier nilpotency clase, solucionable, pero no nilpotent de cualquier solvencia de la clase, simple,...Si no me equivoco el conjunto de nonisomorphic grupo de leyes en $\mathcal{P}$ tiene la cardinalidad del continuo.

Sin embargo, el primer párrafo no toma en cuenta que los elementos de la countably conjunto infinito son números primos en cualquier forma: cualquier countably conjunto infinito iba a funcionar así. Usted reconoce que la quieres más que a este, es decir, un grupo natural de la ley en $\mathcal{P}$. Pero ¿qué significa esto? No dicen, por lo que su pregunta no puede ser contestada en su forma actual.

Hay una natural algebraicas estructura en $\mathcal{P}$, pero no es un grupo de la ley. Más bien, la estructura natural es que $\mathcal{P}$ forma una base para la conmutativa monoid $(\mathbb{Z}^+,\cdot)$ de los enteros positivos menores de multiplicación. Este es, precisamente, una reformulación en más del lenguaje algebraico de la unicidad de la descomposición en factores primos, y que tiene como consecuencia que el monoid $(\mathbb{Z}^+,\cdot)$ es isomorfo a un libre conmutativa monoid de countably infinito rango, es decir,$\bigoplus_{i=1}^{\infty} (\mathbb{N},+)$. (Estas consideraciones se trabajó en más detalle en el ejercicio G1) del primer conjunto de problemas de un bajo grado de la teoría de números supuesto que me enseñaron en la UGA en el 2007 y el 2009: ver aquí.)

En resumen, el punto entero de los números primos es que son no cerrado bajo su operación natural. Tu pregunta es un poco como preguntar por una manera de combinar dos elementos químicos para obtener un tercer elemento químico. Tales operaciones pueden ser definidos, sino que están en un claro sentido químico artificial: lugar combinamos elementos para obtener compuestos. Ese es el punto de los elementos.

Sin embargo, hay grupo natural leyes sobre el cociente de los conjuntos de los números primos, especialmente si podemos generalizar $\mathcal{P}$ para el conjunto del primer ideales en un anillo de Dedekind $R$. Es decir, vamos a $\mathcal{I}(R)$ ser el monoid de todas distinto de cero ideales de $R$, y deje $\operatorname{Cl} R$ ser el ideal del grupo de clase de $R$. A continuación, hemos natural mapas

$\mathcal{P} \stackrel{\iota}{\rightarrow} \mathcal{I}(R) \stackrel{q}{\rightarrow} \operatorname{Cl} R$.

Ahora, una vez más, el mapa de $\iota$ es una inyección que se da cuenta de $\mathcal{P}$ como base para la libre conmutativa monoid $\mathcal{I}(R)$: este es el natural de la estructura algebraica de los números primos! El mapa de $q$ es un surjective monoid homomorphism. Denotar por $\Phi$ el mapa compuesto $\mathfrak{p} \mapsto [\mathfrak{p}]$ que envía un alojamiento ideal para su ideal de clase. Desde $\mathcal{P}$ es un conjunto de generadores para $\mathcal{I}(R)$ $q$ es surjective, $\Phi(\mathcal{P})$ es sin duda un conjunto de generadores para $\operatorname{Cl} R$ (que es un grupo, pero tenemos un conjunto de generadores incluso como un monoid -- es decir, sin tener que tomar inversos). Uno puede preguntarse si es o no $\Phi$ es realmente surjective -- es decir, cuando todos los ideales de la clase puede ser representado por un alojamiento ideal. En este papel de mina yo llame a $R$ repletos de al $\Phi$ es surjective. Cuando esto se mantiene, el grupo de clase $\operatorname{Cl} R$ es un grupo formado a partir de las imágenes de los números primos. Por otra parte, podemos definir algo que es "casi" un grupo de la ley de $\mathcal{P}$: se trata de definir $\mathfrak{p}_1 \cdot \mathfrak{p}_2 = \mathfrak{p_3}$ si $[\mathfrak{p_1}][\mathfrak{p_2}] = [\mathfrak{p_3}]$, pero no acaba de funcionar: $\mathfrak{p}_3$ no está bien definido, sino sólo su ideal de clase: es decir, si $\mathfrak{p}_4$ es otro primer ideal de tal manera que no se $\alpha,\beta \in R \setminus \{0\}$ $\alpha \mathfrak{p}_3 = \beta \mathfrak{p}dimm_4$, then also $\mathfrak{p}_1 \cdot \mathfrak{p}_2 = \mathfrak{p}dimm_4$. So it is a group law on the quotient of $\mathcal{P}$ by the equivalence relation of equality up to a principal ideal: it is still natural and important in the study of $R$ and $\operatorname{Cl} R$. When $R$ is not replete, the relationship between $\mathcal{P}$ and $\operatorname{Cl} R$ es más complicado.

Cuando se $R$ repleta? Al $R = \mathbb{Z}_K$ es el anillo de enteros de un campo de número, entonces el repleteness de $R$ es una forma débil de la Chebotarev Densidad Teorema (que se aplica a los Hilbert campo de la clase de $K$), que dice, además, que las fibras del mapa de $\Phi$ todos tienen la misma densidad. En mi trabajo he observado que cuando $k$ es un campo, $E_{/k}$ es una curva elíptica, y $k[E^{\circ}]$ es el anillo de coordenadas de los afín a la curva de $E^{\circ} = E \setminus \{O\}$, $k[E^{\circ}]$ es (un dominio de Dedekind, como es bien sabido) y es por lo menos muy cerca de ser repleta: satisface una condición que me llamó débilmente repletos de que es lo suficientemente bueno como para las aplicaciones. Pero cuando es $k[E^{\circ}]$ realidad repleta? Me dan una información parcial acerca de esto en el Teorema 14 de mi artículo:

$\bullet$ Si $k$ es alebraically cerrado, $k[E^{\circ}]$ no está repleta.
$\bullet$ Si $k$ no tiene carácter $2$ $k[E^{\circ}]$ no está repleta, a continuación, deje $y^2 = P_3(x)$ ser una ecuación de Weierstrass para $E$. A continuación, el $x$--coordinar mapa de $E^{\circ}(k) \rightarrow k$ es surjective.

Yo no lo dicen en el papel, pero en la segunda parte implica que $k[E^{\circ}]$ está repleta de siempre $k$ es un Hilbertian campo de característica diferente de $2$: en particular, cuando se $k$ es un campo de número. Y ahora que miro hacia atrás, la característica no es igual a $2$ hipótesis sólo se ve como un poco de pereza por mi parte.

Esta discusión fue un poco técnico, pero ya que usted dice que usted está interesado en el número de campos y curvas elípticas pensé que podrías estar interesado. De hecho, dar una precisa condición necesaria y suficiente en $E$ $k$ que hace $k[E^{\circ}]$ repleta sigue siendo una cuestión abierta. Estoy bastante seguro de que nadie está trabajando en esto..

Answer 2

Usted puede poner una estructura de grupo en cualquier conjunto no vacío (esto es equivalente al axioma de elección). La pregunta debería ser: ¿existe un "natural" de la estructura del grupo en el conjunto de todos los números primos? Con toda humildad, no creo que tal cosa existe.

Sin embargo, tal vez usted va a ser feliz de escuchar esto:

Deje $\ell$ ser un número primo, y deje $\mathbf Z_\ell$ denotar el anillo de $\ell$-ádico enteros. Es un topológicos compactos anillo conmutativo. Deje $\mathbb P$ denota el conjunto de todos los números primos.

Teorema (Chebotarev - Dirichlet): el conjunto de $\mathbb P-\{\ell\}$ es denso en $\mathbf Z_\ell^\times$.

Corolario: del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas.

Yo creo, sin embargo, que el teorema anterior viene tan cerca como sea posible para responder a tu pregunta (esta es mi buena manera de responder "no"). Los primos de dar lugar a conjugacy clases en grupos de Galois a través de la "Frobenius", por lo que abelian grupos de Galois es un lugar natural para mirar si uno quiere poner una estructura de grupo en el conjunto de todos los números primos. El ejemplo anterior es la más natural, la que aparece en este contexto (porque $\mathbf Z_\ell^\times$ aparece como el grupo de Galois de la infinita cyclotomic extensión de $\mathbf Q(\mu_{\ell^\infty})/\mathbf Q$).