Supongo que estoy confundido acerca de algo incluso más elementales. Sin duda el más general de holomorphic vector de paquetes tiene estructura de grupo $\rm{GL}(n,\mathbb{C})$. Y creo que todavía puede tener semi estable haces con esta estructura de grupo. Así que ¿por qué no el Narasimhan-Seshadri Teorema indicado para $G=\rm{GL}(n, \mathbb{C})$?
Permítanme tratar de responder a esta primera. Creo que el punto es el siguiente.
En el nivel de álgebras de Lie nos have$$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})= \mathfrak{u}(n)+i\mathfrak{u}(n),$$that is every complex matrix can be written as its skew-Hermitian plus its Hermitian part$${1\over2}(A-A^{\dagger})+{1\over2}(A+A^{\dagger})$$and the Hermitian part is $i$ times a skew-Hermitian matrix. A $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$-valued $(0,1)$-form is therefore something of the form $\text{Ad}\,\overline{z}$ where $A=a+ib$ ($a$, $b \en \mathfrak{u}(n)$, $d\overline{z}=dx-idy$). Multiplying this out gives$$adx+bdy+(ibdx-ady).$$Note that the real part of this is a $\mathfrak{u}(n)$-valued $1$-form (no complex numbers in sight). The holomorphic bundle is determined by a $\mathfrak{gl}(n,\mathbb{C})$-valued $(0,1)$-form, but by the above reasoning we might as well just pick its real part and work with a unitary connection on the $\text{U}(n)$ bundle we get by picking a Hermitian metric on our complex vector bundle (which amounts to picking a copy of $\text{U}(n)$ inside $\text{GL}(n,\mathbb{C})$ estabilización de este Hermitian métrica).
En realidad, esto le da un bijection entre el espacio $\mathcal{A}$ de los unitaria de las conexiones y el espacio $\mathcal{C}$ de holomorphic las estructuras; el isomorfismo depende de la elección de la métrica.
Así que aunque usted tiene que hacer una elección de la estructura unitaria, realmente ver todos los holomorphic haces de esta manera, y usted nunca tendrá que buscar en las conexiones con el general $\text{GL}(n, \mathbb{C})$-holonomy. Ver Atiyah-Bott Secciones 5-8 aquí para más detalles.
Atiyah, M. F.; Bott, R. El Yang-Mills ecuaciones sobre las superficies de Riemann. Muerte. Trans. Roy. Soc. Londres Ser. Un 308 (1983), no. 1505, 523-615.
Si hemos trabajado con $\text{GL}(n,\mathbb{C})$ como el análogo de $\text{U}(n)$ tendríamos que introducir una complejización de la $\text{GL}(n,\mathbb{C})$ (quizás $\text{GL}(n,\mathbb{H})$?) y no es claro para mí que el correspondiente $\overline{\partial}_\mathcal{E}$ operador estaría asociado a un holomorphic paquete de más (es de suponer que estar asociado a algún otro tipo de quaternionic estructura del bundle?).
Es una buena pregunta, aunque no van a ser los más $\text{GL}(n,\mathbb{C})$-representaciones de $\pi_1$ hay $\text{U}(n)$-representaciones, porque es un grupo más grande! La variedad de todas las $G$-representaciones hasta conjugacy se llama el personaje de la variedad (como usted dice, a veces para permitir trivial Chern números no es muy representaciones de $\pi_1$ de una superficie cerrada pero las representaciones de $\pi_1$ de perforación de la superficie con lo prescrito monodromy alrededor de la punción) y, por ejemplo, el $\text{SL}(2, \mathbb{C})$ carácter de la variedad es mayor que el $\text{SU}(2)$ carácter de la variedad. Yo creo que estos $\text{SL}(n)$ carácter variedades son cada vez más importantes en la física y la topología de baja dimensión (por ejemplo, en el trabajo de Kapustin-Witten o en Witten del trabajo en Khovanov de homología). También creo que la teoría de gauge es estrictamente más difícil con noncompact grupo gauge (por ejemplo, el análogo de Uhlenbeck, la compacidad es más difícil; creo que Taubes tiene algunos papeles en esto $\text{PSL}(2,\mathbb{C})$). Sé muy poco acerca de este asunto, sin embargo!
De hecho hay una relación de Higgs paquetes y una versión de Narasimhan-Seshadri, véase por ejemplo el siguiente breve encuesta por Bradlow aquí o un artículo original de Simpson aquí.
Bradlow, Steven B.; García-Prada, Oscar; Gothen, Peter B. ¿Qué es$\ldots$ un paquete de Higgs? Avisos Amer. De matemáticas. Soc. 54 (2007), no. 8, 980-981.
Simpson, Carlos T. de Higgs paquetes y sistemas locales. Inst. Hautes Études De La Lesión. Publ. De matemáticas. Nº 75 (1992), 5-95.
Los Simpson papel tiene algunos bastante increíble aplicaciones de paquetes de Higgs, por ejemplo, imponer restricciones a los grupos que pueden surgir como $\pi_1$ de Kähler colector (su Higgs paquetes son complejos colectores en todas las dimensiones, no sólo el complejo de curvas).
Yo tampoco sé mucho acerca de la partícula de Higgs, paquete de parte de la historia, pero creo que Hitchin del espacio de moduli de Higgs haces es parcial compactification de la cotangente del paquete de Atiyah-Bott espacio de moduli. Supongo que esto es similar a la forma en que $\text{GL}(n,\mathbb{C})$ es (al menos diffeomorphic a) la cotangente del paquete de $\text{U}(n)$ (de hecho cualquier noncompact grupo $G$ con la máxima compacto $K$ es diffeomorphic a $K$ veces $G/K$ $G/K$ es un contráctiles simétrica espacio con curvatura negativa métrica; $T^*K$ es diffeomorphic a $K \times \mathfrak{k}^*$ donde $\mathfrak{k}$ es la Mentira de álgebra de $K$).
Mi pregunta principal es: sin duda la teoría de gauge y la topología fácilmente generalizar a $G$ a un arbitrario compacto de Lie del grupo, pero no a este nivel de generalidad mantenga en el holomorphic vector haces? En otras palabras, podemos escribir la misma "trinidad" encima de donde que en lugar de hablar de semistable, grado $0$ holomorphic vector de paquetes con la estructura de grupo $G^\mathbb{C}$?
Estoy seguro de que la respuesta a esto es sí (aunque no he pensado antes), al menos si tienes que elegir una incrustación de su grupo en $\text{U}(n)$, de modo que usted puede hablar acerca de holomorphic vector de paquetes. Entonces, probablemente, la prueba de Narasimhan-Seshadri lleva a través de-por ejemplo, usted podría trabajar a través de Donaldson papel aquí y comprobar que nada cambia.
Donaldson, S. K. Una nueva prueba de un teorema de Narasimhan y Seshadri. J. Diferencial Geom. 18 (1983), no. 2, 269-277.
Estoy un poco confundido por la primera parte. Después de que hice esta pregunta, me di cuenta de que $\text{U}(n)$ no es un complejo de Lie del grupo, y su complejización en realidad es $\text{GL}(n, \mathbb{C})$. Lo que hace perfecto sentido en el Narasimhan-Seshadri teorema de donde usted tiene representaciones en $G$ y holomorphic paquetes con la estructura de grupo $G^\mathbb{C}$. Así que estoy confundido acerca de por qué usted necesita para introducir unitaria de las conexiones. Tal vez esto es equivalente a otro, o de una forma más fácil para ver el teorema?
El Narasimhan-Seshadri teorema relaciona estable paquetes unitarios de representación. Unitario de representaciones de $\pi_1$ son la misma cosa tan plano unitario conexiones (es decir, son las geométricas avatar de la más algebraicas idea), así que no veo cómo se puede (o por qué se quiere) evitar la introducción de ellos. De hecho, por lo general, yo creo que de las conexiones como los objetos de interés en esta historia-usted quiere encontrar una solución a un PDE (Yang-Mills) en el set de conexiones, y reducir el problema a una más fácil algebro-geométrico uno (determinar si un paquete es estable). En otro contexto, se han Yau del teorema que fácilmente verificado algebro-condición geométrica (fuga de primera clase de Chern) implica una analítica de un (existencia de un Ricci plana Kähler métrica). En este caso, la condición de estabilidad es en realidad un vacío-se vuelve mucho más interesante en el caso de que $c_1$ es positivo múltiples de la Kähler clase, donde realmente tienes que venir para arriba con una noción de estabilidad para Fano variedades (en realidad bastante difícil de comprobar) que implica la existencia de un Kähler-Einstein métrica (esto ya ha sido establecido por Chen-Donaldson-Sol y Tian). Este tipo de teorema se llama Hitchin-Kobayashi correspondencias en general. Por ejemplo, el $4$-dimensiones de la versión de Narasimhan-Seshadri permite el estudio de los módulos espacios de soluciones a la de Yang-Mills ecuación algebraica de la superficie (es decir, un complejo colector con la dimensión real de $4$), lo que permite calcular los invariantes de Donaldson que $4$-colector (ver Donaldson-Kronheimer increíble libro "La geometría de $4$-colectores de" aquí para una prueba de la Hitchin-Kobayasi correspondencia en este caso y cálculos de los invariantes de Donaldson).
Donaldson, S. K.; Kronheimer, P. B. de La geometría de cuatro colectores. Oxford Matemáticas Monografías. Oxford Publicaciones De La Ciencia. El Clarendon Press, Oxford University Press, Nueva York, 1990. x+440 pp.
Esta es la razón por la que la gente como Donaldson y Atiyah-Bott se interesó en Narasimhan-Seshadri-de lo contrario, es sólo una muestra aleatoria teorema acerca de los paquetes en las curvas.
