Irreductibilidad de polinomio ciclotómicas sobre una extensión de ciclotómicas

Question

Estoy tratando de demostrar que $\Phi_m(x)$ es irreducible sobre $\Bbb Q(\zeta_n)$ si y sólo si $(m,n)\leq2$.

La izquierda implicación resulta ser algo fácil, ya que sin pérdida de generalidad, $2\mid m$ y no mayor poder de $2$ divide $m$ y utilizando el hecho de que $\Bbb Q(\zeta_{m/2})=\Bbb Q(\zeta_m)$ (se supone que los grados no son primos relativos, para empezar, que creo que es incluso más fácil).

Mi problema viene haciendo en el avance implicación. Traté y traté, sin éxito, así que comencé a tratar de usar el contrapositivo, es decir, si $(m,n)\geq3$, $\Phi_m(x)$ es reducible $\Bbb Q(\zeta_n)$. Esto no ha demostrado ser fructífero todavía, así que si es posible, alguien me apunte en la dirección correcta?

Answer 1

En primer lugar mostrar que $\Phi_m(x)$ es irreducible en $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ si y sólo si $[\mathbb{Q}(\zeta_m,\zeta_n):\mathbb{Q}(\zeta_n)]=\varphi(m)$. Para calcular $[\mathbb{Q}(\zeta_m,\zeta_n):\mathbb{Q}(\zeta_n)]$ y saldrá el resultado.