Probar que una curva continua débil en un espacio Banach separable es una función de Borel.

Question

Necesito un poco de ayuda para abordar el siguiente ejercicio.

Deje que$B$ sea un espacio Banach separable y que$\gamma : [0,1] \rightarrow B$ sea una curva continua con respecto a la topología débil de$B$. Demuestre que$\gamma$ es una función de Borel con respecto a los conjuntos de Borel de la topología sólida de$B$. ¿Sigue siendo cierto si$B$ no es separable?

Answer 1

La clave está en que ninguna de Banach separable espacio, el débil y el fuerte topologías de generar el mismo Borel $\sigma$-álgebra. Recordemos que una fuertemente cerrado y convexo conjunto es débilmente cerrado, por lo que en particular cada bola cerrada es débilmente cerrado. Y cada fuertemente conjunto abierto es un contable de unión cerrado de bolas (por segunda countability), por lo que cada fuertemente conjunto abierto es débilmente Borel.

No estoy seguro acerca de la no-separables caso, pero me imagino que esto es falso. Me gustaría ver un contraejemplo en un no-espacio de Hilbert separable como $\ell^2(\mathbb{R})$ o $\ell^2(\omega_1)$.