Comprobar si la función es diferenciable o no

Question

Considere $f: \mathbb{R^2} \to \mathbb{R}$ , $$f(x, y) = \begin{cases}\frac{xy^2}{x^2 + 2y^2} & (x, y) \ne (0,0)\\0 & (x, y) = (0,0)\end{cases}$$

¿Dónde está $f(x, y)$ ¿es diferenciable en su dominio?

Estoy considerando $(0, 0)$ como un punto, pero no estoy seguro de cómo ir a probarlo (o refutarlo)

Answer 1

Utilice la definición de las derivadas parciales para calcular $$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=0$$ y $$\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{y\to 0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y-0}=0.$$ Entonces para comprobar la diferenciabilidad \begin{align}\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)(x-0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)(y-0)}{\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}}\\ =\lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{xy^2}{(x^2+2y^2)\sqrt{x^2+y^2}}. \end{align} Para demostrar la diferenciabilidad hay que comprobar si el límite existe y es cero. En este caso el límite no existe. Sugerencia: utilizar restricciones, tales como $y=x$ o $y=0$ ,

Answer 2

Las derivadas parciales en $(0,0)$ son ambos $0$ . Por lo tanto, $f$ es diferenciable en $(0,0)$ si y sólo si el siguiente límite sale:

$$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}$$

Este límite obviamente no existe.

Answer 3

Hay derivados direccionales en todas las direcciones. Estas se encuentran inmediatamente en la polar cuando tanto el numerador como el denominador son homogéneos, utilizando $$ r \frac{\cos \theta \sin^2 \theta}{ \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta} $$ para que la derivada direccional en la dirección (unitaria) $\theta$ es $$ \frac{\cos \theta \sin^2 \theta}{ \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta} $$ Ahora, escribiendo esto en coordenadas cartesianas, ¿indica esto una función lineal de la dirección (no necesariamente unitaria)? La respuesta es no, ya que esto es cero en los ejes, cuando $\theta $ es un múltiplo de $\pi/2,$ pero no cero en otros lugares. Si la cosa fuera lineal, siempre obtendríamos cero.