La distancia Entre los Subconjuntos de Espacios Conectados

Question

Supongamos $\langle X, d \rangle$ es un espacio métrico. Para cualquiera de los dos conjuntos de $F,G \subseteq X$, por abuso de notación definir $d(F,G) = \inf \{ d(f,g): f \in F, g \in G \}$.

Vamos $\rho > 0$, $x \in X$, y $E \subseteq X$ ser tal que la bola abierta de radio $\rho$ centrada en $x$ no tiene intersección vacía con tanto $E$ y su complemento. Si $X$ está conectado, no se sigue que la $d(B_{\rho}(x) \cap E, B_{\rho}(x) \cap E^c) = 0$ donde $E^c$ es el complemento de a$E$$X$?

Si la afirmación es falsa, hay evidentes condiciones naturales que se podría colocar en la métrica del espacio en cuestión (en lugar de en la bola abierta centrada en $x$) que garantizan $d(B_{\rho}(x) \cap E, B_{\rho}(x) \cap E^c) = 0$?

Answer 1

Contraejemplos para la conexión de los espacios ya han sido dadas por Daniel Fischer y Stefan H.

Resulta que la conectividad es algo tangencial a la cuestión. La propiedad es heredada por una densa subespacios, por lo que también se aplica a $\mathbb{Q}^n$ por ejemplo. Eso significa que tiene sentido para las condiciones de en la realización de $X$. Una razonable condición suficiente es que la terminación es la longitud del espacio, porque en un largo espacio de todas las bolas abiertas están trayectoria-conectado.