Distancia más corta entre dos puntos de cálculo de la variación de la

Question

Ok este problema podría ser trivial, pero a la hora de resolver mediante cálculo de variaciones no es tan estúpido. Supongamos que tenemos un fijo de la condición de límite $f(a) = f(b) = 0$ y queremos encontrar la distancia más corta entre dos puntos, así que elegimos $f$ a minimizar el funcional $$ I(f) = \int_a^b \sqrt{1+f'(x)^2} dx $$ hemos resuelto este en clase y consiguió $f'' = 0$ que es una línea recta. Sin embargo, podría acabamos de resolver el problema $$ \min I(f) = \int_a^b f'(x)^2 dx $$ dado que se trata de una transformación monotónica de la función original? Sé que esto funciona en el cálculo, pero no estás seguro acerca de cuando se trata con funcionales. Me da la misma respuesta ($f'' = 0$) pero esto es sólo una coincidencia? El segundo problema consiste significativamente menos álgebra. Gracias!

Answer 1

Este es un comentario extendido, no una respuesta, sólo para compartir mis pensamientos.

Usted menciona que la monotonía de las transformaciones de las funciones de rendimiento equivalente problemas de optimización. Esto es cierto porque, teniendo en $g(x)$ a ser monótona creciente, de modo que $g'(x)>0$ todos los $x$ en el dominio, $$\frac{d}{dx}g(f(x))=g'(f(x))f'(x)=0\iff f'(x)=0$$ since $g'(x)$ nunca es cero.

Pero yo simplemente no puede encontrar una manera de extender este argumento para el caso de problemas variacionales. Si tenemos una solución a la transformada problema con $g(f(x,y,y'))$ (en el caso de $g(t)=t^2-1$ y el dominio es $t\ge 0$), entonces sabemos que $$\frac{\partial }{\partial y}g\big(f(x,y,y')\big)=\frac{d}{dx}\frac{\partial }{\partial y'}g\big(f(x,y,y')\big)$$ which expands to $$g'(f)\frac{\partial f}{\partial y}=g''(f)\frac{df}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}+g'(f)\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}.$$ We want this to imply that $$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}$$ so that we can conclude (under suitable conditions) that we have optimized the original problem. But I can find no way to realize that implication, given only that $g'(t)>0$.

Claramente la prueba se lleva a cabo si tenemos $g''(t)\equiv 0$, es decir, si $g$ es un lineal de la función. Por desgracia la tuya es cuadrática.