Si AB es una proyección, entonces BA es una proyección

Question

Dadas dos matrices complejas $A$ y $B$ y sabiendo $AB$ es una proyección, demuestre o proporcione un contraejemplo de que $BA$ es una proyección. Atascado con esta pregunta, necesito ayuda. De acuerdo con las propiedades de proyección de la matriz, $BA$ debe ser idempotente para ser proyectado, por lo que $(BA)(BA)$ = $BA$ . Podemos reescribirlo, si $B$ es invertible, ya que

$$(BA)(BA)=B(AB)(AB)B^{-1} \Rightarrow (BA)(BA)=BA.$$

Sin embargo, parece imposible, en las condiciones dadas, demostrar que $B$ es invertible, así que lo más probable es que me esté moviendo en la dirección equivocada. Cualquier ayuda o referencia es muy apreciada, gracias.

Answer 1

No es cierto.

$$\left[\begin{array}{cc}0 &0\\0 &1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0 &1\\0 &0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0 &0\\0 &0\end{array}\right]$$ es una proyección pero

$$\left[\begin{array}{cc}0 &1\\0 &0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0 &0\\0 &1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0 &1\\0 &0\end{array}\right]$$

no lo es.