Tratando de aplicar las matemáticas en un contexto real

Question

El día de hoy, yo estaba tratando de colocar mi libro de cuentos en mi armario cajón, sólo para encontrar que sólo podía colocarlo horizontalmente a la altura de mi libro supera la altura de mi cajón. Por curiosidad, he probado a girar el libro por la celebración de la columna vertebral y observar la forma en que se puede girar, hasta que tres de los vértices tocado un punto del cajón.

Una pregunta vino a mí como yo había llegado a un punto del tiempo cuando el libro ya no podía girar más: manteniendo la altura del cajón constante, ¿cuál es la longitud mínima del cajón tales que el libro puede ser almacenada en su interior? (Una pregunta tonta, lo sé, teniendo en cuenta que los cajones son siempre bastante larga, pero despertó mi interés, no obstante,..)

Procedí mediante la medición de las dimensiones creo que necesito solucionar mi problema. He medido: La altura del cajón, $17 cm$
La longitud de la columna vertebral del libro, $2.2 cm$
La altura de la columna vertebral del libro, $17.8 cm$
Y he tratado de representar el problema en el diagrama de abajo, la solución para $x$ Con mis conocimientos de matemática de hasta grado 10, inicialmente, había pensado que esto va a ser resuelto mediante ecuaciones simultáneas, pero después de reflexionar durante bastante tiempo, me las había arreglado para venir para arriba con un enfoque de uso de R-Fórmula:

Empecé por establecimiento $\angle WDA=\theta$, y desde el cajón y mi libro son rectangulares, $\angle BAX=\angle DCZ=\theta$
Utilizando esta información, me expresó $x$ trigonométricas términos: $x=17.8 \sin\theta + 2.2 \cos\theta$
El uso de la R-Fórmula, I se $x=\sqrt(321.68)\sin(\theta+7.045769125^\circ)$.

A continuación, intente resolver por $\theta$ expresando $WZ=17$ trigonométricas términos así.
Puedo obtener: $17=17.8\cos\theta+2.2\sin\theta$
$17=\sqrt(321.68)\cos(\theta-7.045769125^\circ)$ $\theta\approx 25.63217562^\circ$

Por último, he sustituido este valor de $\theta$ a $x$ y me sale: $x=\sqrt(321.68) \sin(32.67794475^\circ)$ $x\approx 9.683637217cm$

A mi la medida real del valor de $x$$10.5cm$. Me hizo esperar inexactitud como he medido con un solo quince centímetros regla, un par de ondulación de las manos y se considera error de paralaje, aunque no me esperaba que la discrepancia a ser de casi el $1cm$.

Tengo dos preguntas con respecto a este problema de la mina:
Es mi enfoque, un enfoque válido?
Hay un enfoque más sencillo para resolver este problema?

Answer 1

El es ya un error en la fórmula inicial ... Así que fue un error en su pregunta, y no puedo encontrar un error en su cálculo ahora.

Aquí es un posible enfoque diferente que le da una fórmula explícita para el resultado.

El uso de $$ \begin{aligned} w &= 2.2 \text{ (width of book)}\\ h &= 17.8 \text{ (height of book)}\\ H &= 17 \text{ (height of shelf)}\\ y &= \text{distance from D to Z} \\ \theta &\text{ angle of book, as in your sketch} \end{aligned} $$ tenemos $$ \sin \theta = \frac yw \, , \quad \cos\theta = \frac{H-y}{h} $$ y por lo tanto $$ 1 = \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left(\frac yw\right) ^2 + \left(\frac{H-y}{h}\right)^2 \, . $$ Esta es una ecuación cuadrática para $y$, y el positivo de la solución es $$ y = \frac{w^2H + wh\sqrt{w^2+h^2-H^2}}{w^2+h^2} $$ (Se puede concluir de $h > H$ que la otra solución es negativo.) De ello se sigue que $$ \sin \theta = \frac yw = \frac{wH + h\sqrt{w^2+h^2-H^2}}{w^2+h^2} \\ \cos\theta = \frac{H-y}{h} = \frac{hH - w\sqrt{w^2+h^2-H^2}}{w^2+h^2} $$ Finalmente $$ x=h \sin\theta + w \cos\theta = \frac{2whH + (h^2-w^2)\sqrt{w^2+h^2-H^2}}{w^2+h^2} . $$ El uso de PARI/GP, este evalúa a $x \approx 9.6836372165163056823433168189573517183$, que es su resultado.

Me hizo un dibujo con Geogebra que muestra que el resultado es plausible:

Answer 2

He aquí una forma ligeramente diferente de visualizar el problema:

Cuando el libro está tan cerca de la vertical como sea posible, la diagonal $AC$ le acaba de tocar la parte superior y la parte inferior del cajón. Es decir, se tiene un triángulo rectángulo $\triangle AEC$ con hipotenusa igual a la diagonal del rectángulo $ABCD$ y una de las piernas, $AE$, igual a la altura del cajón.

La otra diagonal del libro, $BD$, toca el extremo del cajón en $D$ y lo hace triángulo $\triangle BFD$ con hipotenusa igual a la diagonal del rectángulo $ABCD$ y una pierna acostado a lo largo del lado del cajón. La otra pata es la longitud que usted desea medir, $x = BF$.

Deje $\angle ADF = \theta$$\angle BDA = \alpha$. A continuación, $\angle DAE = \theta$ (debido a que la línea de $DF$ es paralela a la línea $AE$) y $\angle BDA = \alpha$ (por triángulos congruentes). Teniendo en cuenta los ángulos con vértice en a $A$ y los ángulos con vértice en a $D$, tenemos \begin{align} \angle CAE = \theta - \alpha, \\ \angle BDF = \theta + \alpha. \end{align} Entonces \begin{align} AC = BD &= \sqrt{(AB)^2 + (AD)^2}, \\ \alpha &= \arcsin\frac{AB}{BD}, \\ \theta - \alpha &= \arccos\frac{AE}{AC}, \\ \theta + \alpha &= (\theta - \alpha) + 2\alpha, \\ x = BF &= BD \sin(\theta + \alpha). \end{align}

Comenzando con $AB =2.2$, $AD=17.8$, y $AE=17$, el trabajo de cada una de estas ecuaciones, uno tras otro, con valores conocidos en el lado derecho de cada momento, y la respuesta viene a $9.68363721431$, sólo que como lo encontró.

Usted también puede notar que este método se ilustra cómo la R-la fórmula funciona. Tenemos $$ x = BF = AD \sin\theta + AB\cos\theta = 17.8\sin\theta + 2.2\cos\theta$$ por las mismas razones que se encuentra, pero también $$ x = BF = BD \sin(\theta + \alpha) = \sqrt{321.68} \sin(\theta + 7.04576912\text{ grados}).$$