Un punto de $(x,y)$ se mueve de manera que su distancia de la línea de $x=5$ es dos veces tan grande como la distancia desde la línea de $y=8$. Encuentre una ecuación de la ruta de acceso del punto.
Tengo las dos ecuaciones:
$$x-2y+11=0 \tag{1}$$
$$x+2y-21=0 \tag{2}$$
El libro afirma que una sola ecuación para la ruta de acceso del punto sería el producto de las dos ecuaciones anteriores. No entiendo por qué se multipliquen.
La gráfica del producto de dos ecuaciones (cada igualando a cero), es la unión de las gráficas de cada ecuación por separado. En este caso, hay dos rutas válidas que podría funcionar.
En una dimensión, las soluciones a $(x-1)(x+2)=0$, es la unión de las soluciones a$x-1=0$$x+2=0$. (es decir, $x=1$$x=-2$).
Esencialmente, lo que tenemos es:
$$\Big(x-2y+11=0 \quad \text{OR}\quad x+2y-21=0\Big) \iff (x-2y+11)(x+2y-21) =0 $$
En palabras:
Un par ordenado $(x, y)$ es una solución para cualquiera de las $\;(x - 2y + 11) = 0\;$ o de lo $\;(x + 2y - 21) = 0\;$
si y sólo si $\;(x, y)\;$ es una solución a $ (x-2y+11)(x+2y-21) = 0$.
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