Blackwell–Girshick ecuación?

Question

Tenemos el siguiente teorema:

Deje $N$ ser una variable aleatoria suponiendo entero positivo de los valores de $1, 2, 3,\dots\,$. Deje $(X_i)$ ser una secuencia de variables aleatorias independientes que son también independientes de $N$ $V(X_i)$ el mismo para $i$, e $E(X_i) = E(X)$ el mismo para $i$. Se denota el paseo aleatorio como $S_N=\sum_{i=1}^{N}X_i$. Entonces $$V(S_N)=E(N)V(X)+E(X)^2V(N)$$

Hay una variante para el caso de que $N$ no es independiente de $X_i$ ? Esto no es claro para mí, ¿cuáles son los ejemplos de que disponemos $N$ dependiente de $X_i$ ?

Gracias

Answer 1

Piénselo de esta manera: si $N$ es independiente de la $(X_i)$, entonces cuando pare no tiene nada que ver con el valor actual de la caminata aleatoria. Esta es la razón por la Wald de la ecuación tiene sentido, por ejemplo.

Usted menciona el caso de la caminata aleatoria $(S_n)$ siendo limitada. Si $(S_n)$ es casi seguramente delimitada, lo que tiene que decirnos acerca de la $X$? Apuesto a que $\mathbb{E}[X]=0$; por lo tanto, en este caso, tendríamos que $\mathbb{E}[S_N]=0$ y $$ \text{Var}[S_N]=\mathbb{E}[N]\cdot\text{Var}[X], $$ lo cual tiene sentido si se piensa en ello: condicionado a $N$, estamos sumando $N$ variables aleatorias independientes con la misma varianza.

Para responder a tu otra pregunta: la forma más básica de Wald de la ecuación requiere que $N$ ser independiente de $(X_i)$; sin embargo, hay una forma más general donde no se requiere necesariamente.

Answer 2

Supongamos $X$ y cada una de las $X_i$ tiene el mismo yo.yo. la distribución de los ser $0$ o $1$, con igual probabilidad, y que $N$ es el primer $i$ que $X_i=1$.

A continuación, $S_N$ es casi seguro $1$ con cero de la varianza, aunque todos los términos en el lado derecho positivo.