Lo útil de propiedades usuales de suma tienen, pero las alternativas no? (Cesaro, etc)

Question

Antes de que realmente me pregunte a mi pregunta, quiero dar mi tren de razonamiento. Supongamos que tenemos algún método de sumación (como yo lo entiendo, la asignación de un número a una serie) que satisface todos o algunos de regularidad, linealidad, estabilidad o, como se define en Hagen von Eitzen, la respuesta a esta pregunta.

Supongamos que este método también asigna a $1-1+1-1+\dots=1/2$---dicen que es Cesaro suma, o lo que sea. Evidentemente, este método no puede admitir rebracketing, porque $(1-1)+(1-1)+\dots=0$ mientras $1+(-1+1)+(-1+1)\dots = 1$.

Sin embargo, se puede rebracket series que convergen en el sentido usual, aunque no dan los mismos resultados después de reordenamiento. A la derecha? Creo que los límites de las sumas parciales $S_N = \sum^N_{k=1} a_k$ $S_M = \sum_{k=1}^M(a_{2k-1}+a_{2k})$ debe ser el mismo---supongamos que $S_N$ converge, y luego evaluar para finito de valores de $N$ $M$ muestra que $S_M$ es una larga de $S_N$, por lo que converge al mismo límite. Pero $S_M$ es un rebracketing de $S_N$.

Por lo tanto, si una serie converge, podemos disfrutar de la potencia a rebracket, que no tenemos con Cesaro suma. Sin embargo, en ambos casos, los axiomas muestran todavía podemos suma término por término, etc, por lo que Cesaro suma mantiene algunas cosas buenas. ¿Qué cosas no se mantenga? Rebracketing parece ser un ejemplo.

Así que: ¿Qué hace un convergente la serie nos conceda que una serie que es, simplemente, Cesaro summable (o lo contrario) no?

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Yo tenía algunas preguntas adicionales, que encontré las respuestas aquí: Podemos demostrar que $1+2+3+\dotsb=-\frac{1}{12}$ utilizando sólo la estabilidad o la linealidad, no tanto, y sin la regularización o la especificación de un método de la sumación?, pero me voy de este párrafo, de todos modos ya que los comentarios se refieren a ella.

Como estuve leyendo en este enlace: http://www.nottingham.ac.uk/~ppzap4/response.html, donde un físico explica por qué algunos pasos en una simple derivación hizo fueron detrás-de-las-escenas justificada, una cosa que dice es que sus manipulaciones no se opongan a los tres axiomas, dado que en Hardy Divergentes de la Serie. Parece encapsular la linealidad y estabilidad, pero no con regularidad.

1. si $\sum a_n = A$ $\sum ka_n = kA$
2. si $\sum a_n = A$ $\sum b_n = B$ $\sum (a_n + b_n) = A+B$
3. $\sum\limits_{n=0}a_n = A$ si y sólo si $\sum\limits_{n=1} a_n = A - a_0$

Estoy seguro de que a partir de axioma 3 (estabilidad) se puede obtener que si $\sum a_n = A$, $\sum c_n = A$ donde $\{c_n\}$ es sólo $\{a_n\}$, pero con tal vez una infinidad de $0$'s lanzados entre el $a$'s. Por ejemplo $c_1 = a_1$, $c_2 = a_2$, pero $c_i=0$$3 \leq i \leq 7$, y, a continuación,$c_8 = a_3$, y así sucesivamente.

Suponga $S_1 = 1-2+3-4+\dots = 1/4$ en cualquier sentido consideramos. Deje $Z = 1+2+3+4+\dots$. No es summable por cualquier lineal/método estable. Pero él escribe

$$S_1 + 4Z = (1+0) + (-2 + 4\cdot1) + (3+0) + (-4 + 4\cdot2)=1+2+3+4+\dots=Z$$ $$-3Z = S \Rightarrow Z = -1/12$$

que requiere estabilidad. Supongo que la obtención de un valor "correcto" fue una coincidencia, entonces. Dice en el enlace que no se opongan a los axiomas, pero los axiomas que no se mantenga en el primer lugar.

Answer 1

La respuesta a tu pregunta tiene que ver con la topología. La noción de límite que viene de la topología aplicada a la norma de la topología de la recta real coincide con el más elemental $\epsilon$-$\delta$ definición. Por lo tanto, todos de la teoría aplicable a la noción de límite de una secuencia en un espacio topológico es aplicable a la conocida noción de límite definido por $\epsilon$-$\delta$ definición de límite.

Usted puede aprender acerca de la topología y límites de los espacios topológicos interesante, y más aún, la combinación de que con el conocimiento de la orden de la teoría acerca de la compra de un countably conjunto infinito.

Editar: Para ampliar sobre este, una topología para un conjunto $X$ es una colección de subconjuntos de ese conjunto, $\tau$, los cuales son definidos para ser abiertos tales que:

1) $\emptyset,X\in\tau$, o en otras palabras, el conjunto vacío y el conjunto está en la topología.

2) Dado cualquier colección de bloques abiertos, $U_i\in\tau,i\in I$, la unión de $\bigcup_{i\in I}U_i\in\tau$. (Cerrado bajo arbitraria sindicatos)

3) Dado cualquier finito colección de conjuntos abiertos, $U_n\in\tau$, $n\in\mathbb{N}_N$, la intersección, $\bigcap_{n\in \mathbb{N}_N}U_n\in\tau$. (Cerrado bajo intersecciones finitas)

El par $(X,\tau)$ es llamado un espacio topológico, $\tau$ es la topología del espacio, y $X$ el punto fijado.

Debido a que la mayoría de las topologías o de interés son infinitas y generalmente uncountably infinito, es importante tener maneras de describir una topología en términos más sencillos. Esto nos lleva a considerar una base para la topología, así como los relacionados con la idea de un subbasis.

Una base para una topología, $\tau$ es un subconjunto de la topología, $\mathcal{B}\subset\tau$, tal que:

$\forall V\in\tau,\exists U_i\in\mathcal{B}$ tal que $\bigcup_{i\in I}U_i=V$.

El punto es: cada conjunto abierto en la topología $\tau$ puede ser representado como una unión de abrir establece a partir de la base $\mathcal{B}$. La noción de subbasis lleva esta idea más:

Un subbasis para una topología $\tau$ es un subconjunto de a $\mathcal{S}\subset\tau$ tal forma que:

$\forall V\in\tau,\exists U_{(i,n_i)}\in\mathcal{S}$ tal que $\bigcup_{i\in I}\bigcap_{n_i\in\mathbb{N}_{N_i}}U_{(i,n_i)}=V$

El punto es que cada conjunto abierto en la topología $\tau$ puede ser representado como una unión de intersecciones finitas de subbasis elementos. La colección creada a partir de un subbasis, $\mathcal{S}$ tomando las intersecciones sólo es la correspondiente base para que la topología $\mathcal{B}$ (nota: más que una base puede existir para una determinada topología, y del mismo modo, más de un subbasis que pueden existir para una base dada.

Para dar un conocido ejemplo concreto de una topología a través de una base. Consideramos que el conjunto de puntos $X=\mathbb{R}$, los números reales. El estándar de la topología de los números reales tiene base:

$\mathcal{B}=\{(a,b)|a<b;a,b\in\mathbb{R}\}\cup\{(-\infty,b)|b\in\mathbb{R}\}\cup\{(a,\infty)|a\in\mathbb{R}\}$

Es decir, el conjunto de todos los intervalos abiertos es la base para el estándar de la topología de los reales.

La conocida definición de límite de una secuencia dice que una secuencia $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge a un punto de $x$ si y sólo si $\forall\epsilon>0$, $\exists N\in\mathbb{N}$ tal que $\forall n>N$, $|x-a_n|<\epsilon$.

Reformular las anteriores en términos de intervalos abiertos que contengan $x$, también conocido como abrir los barrios de $x$. La definición de arriba dice que la secuencia de $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge al punto de $x$ si y sólo si la secuencia es, finalmente, completamente dentro de ese barrio. Explícitamente, $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge al punto de $x$ si y sólo si

$\forall(a,b)\in\mathcal{B}$ tal que $x\in(a,b)$, $\exists N\in\mathbb{N}$, tal que, $\forall n>N$ $a_n\in(a,b)$.

El topológica de la definición de límite de una secuencia de niñas en contextos donde no hay no análogo de los intervalos, y en una forma que es independiente de la base:

En un espacio topológico, $(X,\tau)$ una secuencia de puntos, $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$, $x_n\in X$, se dice que converge a un punto de $x\in X$ si:

Para cada conjunto abierto $U$ contiene $x$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que para cada $n>N$, $x_n\in U$.

Esto es en realidad equivalente a la descripción anterior que involucran intervalos en los reales, pero es aplicable en cualquier espacio topológico. Por lo tanto, con esta definición, la noción de límite de una secuencia es topológico. O en otras palabras, sólo depende de la topología del espacio en cuestión.

¿Qué tiene todo eso que ver con la convergencia o divergencia de una serie infinita (y su valor)? La respuesta está en la definición de una serie infinita:

La serie infinita, $\Sigma_{i=1}^{\infty}a_i$, se dice que converge al valor de $S$ del límite de la secuencia de sumas parciales, $\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\Sigma_{i=1}^na_i$, siempre y cuando este límite existe. De ahí el que convergen de una serie infinita depende de la existencia del límite de la secuencia de sumas parciales, que a su vez depende de la topología del espacio en cuestión ($\mathbb{R}$ en el presente caso).