Evaluar un infinito producto en una forma cerrada

Question

Me encuentro con este infinito productos hoy en día. No tengo mucha experiencia en la evaluación de productos, por lo cual no tengo idea de cómo hacer frente a este.

Aquí está la pregunta. Evaluar (si es posible) en una forma cerrada del producto:

$$\Pi = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+\pi^{{\large \frac{1}{2^n}}}}$$

El valor numérico parece ser$\Pi= 0.534523$, que está muy cerca de a $\frac{\pi}{6}$ teniendo en cuenta que el $\frac{\pi}{6} \approx 0.523598$. En la media hora W|A evalúa a $0$. Estoy perdido.

Puede la ayuda de la comunidad?

Edit:se Basa en la respuesta que tenemos dos productos. El producto me preguntó tiende a cero y el bono de los productos proporcionados por @eres en mi ojo (gracias por eso) es $\frac{\ln \pi}{\pi-1}$.

Gracias por la rápida respuesta.

Answer 1

Todos los términos en el producto, son menos de la mitad. Así, el infinito producto es cero.

(La respuesta está En Mi Ojo es para el producto

$$\Pi = \prod_{n=1}^{\infty} \frac{2}{1+\pi^{{\large \frac{1}{2^n}}}}$$

El OP se olvidó de un $2$ en el numerador de cada término del producto, que es probablemente la causa de la confusión).

Answer 2

No hay una fórmula general:

$$\prod_{k=0}^\infty \frac{2}{1+x^{1/2^k}}=\frac{2}{x^2-1} \ln x$$

$$\prod_{k=1}^\infty \frac{2}{1+x^{1/2^k}}=\frac{1}{x-1} \ln x$$

$$\prod_{k=1}^\infty \frac{2}{1+\pi^{1/2^k}}=\frac{1}{\pi-1} \ln \pi=0.5345226992306749851 \dots$$

Para la derivación de la fórmula anterior se vea en la parte inferior de esta respuesta

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Editar

El producto original de la OP diverge a $0$. Como dije en el primer comentario a la OP. Pero el valor numérico de la OP proporcionada corresponde a este producto.

La razón de la divergencia en @smcc respuesta. No veo el punto de reproducir aquí.

Answer 3

Vi tu post en "Mathimatiko ergasthri".
Así, podemos ver que "$\frac{1}{(1+\pi^{1/2})(1+\pi^{1/4})(1+\pi^{1/8})}=\frac{(1-\pi^{1/2})(1-\pi^{1/4})(1-\pi^{1/8})}{(1+\pi^{1/2})(1+\pi^{1/4})(1+\pi^{1/8})(1-\pi^{1/2})(1-\pi^{1/4})(1-\pi^{1/8})}=\frac{(1-\pi^{1/2})(1-\pi^{1/4})(1-\pi^{1/8})}{(1-\pi^1)(1-\pi^{1/2})(1-\pi^{1/4})}=\frac{(1-\pi^{1/8})}{(1-\pi^1)}$
Podemos ver que el $n$-ésimo producto parcial es igual a $$\frac{1-\pi^{1/2^n}}{1-\pi}$$
que tiende a $0$.
Ahora bien, si se agrega un $2$ en cada numerador (Como entendía que esto era su intención desde el principio), entonces usted quiere evaluar el límite de
$$\frac{1-\pi^{1/2^n}}{1-\pi}\cdot 2^n$$ which is equal to $\frac{\ln \pi}{\pi-1}$ (Uso de L'Hospital)