Cayley transformar a von Neumann teorema de

Question

Auto-ajointness de un operador se puede encontrar utilizando el Cayley de transformación de la operadora, si sus unitaria,

$$ U = (A - i I)(A + i I)^{-1} $$

A partir de esto podemos ir sobre la búsqueda de la deficiencia de subespacios y la deficiencia de los índices (el uso de $D_U^{\perp}$$R_U^{\perp}$).

Si hemos de decir obtenidos estos índices a $(m,n)$ decir. Ahora, a partir de este hecho de cómo obtener von Neumann teorema sobre la auto-adjunto extensiones.

PD : Aunque creo que hay una prueba de ello en el estándar de libros, la mayoría de ellos son de muy matemático riguroso de fondo, que por supuesto es necesario, pero bastante difícil de seguir, ya que mi fondo es de la física.

Answer 1

Un antilinear mapa (escalares están factorizados "fuera del mapa" como sus complejos conjugados) $C:\mathscr{H}\to \mathscr{H}$ se llama conjugación si se conserva la norma de $\mathscr{H}$ $C^2=\mathrm{id}$ (la identidad del operador).

Teorema [von Neumann]. Deje $A$ ser un operador simétrico. Si existe una conjugación $C$ tal que $C: D(A)\to D(A)$$AC=CA$; a continuación, $A$ tiene la misma deficiencia de los índices, y por lo tanto auto-adjunto extensiones.

Prueba. Por hipótesis, $C\, [D(A)]\subset D(A)$ (desde $C$ mapas de $D(A)$ dentro de sí mismo); además de la $C \, [C\, [D(A)] ]=D(A)$, ya que el $C^2=\mathrm{id}$. Por lo tanto, $C\, [D(A)]= D(A)$ (el rango de $C$ restringido a $D(A)$ todos los $D(A)$, es decir, es surjective).

Ahora vamos a $\varphi_+\in K_+=\mathrm{Ran}(A+i)^\perp$ (el positivo deficiencia subespacio); $\psi\in D(A)$. Entonces usted puede tomar el siguiente producto escalar (el conjugado complejo de arriba es sólo para técnicos de conveniencia) $$\overline{\langle \varphi_+ , (A+i)\psi\rangle}\; .$$ Por un lado, este producto escalar es cero, ya que $\varphi_+$ es en el complemento ortogonal de la gama de $A+i$; en el otro, es igual a la siguiente, ya $C^2=\mathrm{id}$ $C$ es anti-lineal (se comporta exactamente igual que el complejo de la conjugación del operador): $$0=\overline{\langle \varphi_+ , (A+i)\psi\rangle}=\overline{\langle \varphi_+,C^2(A+i)\psi\rangle}=\langle C\varphi_+,C(A+i)\psi\rangle=\langle C\varphi_+,(A-i)C\psi\rangle\; .$$ Desde $C$ mapas de $D(A)$ dentro de sí mismo, $C\varphi_+\in K_-$ (el otro deficiencia subespacio). Por lo tanto $C:K_+\to K_-$; y un razonamiento análogo muestra que $C:K_-\to K_+$. Ahora $C$ también conserva las normas, por lo tanto,$dim[K_+]=dim[K_-]$, es decir, la deficiencia de los índices son iguales. $\square$