La imagen de un ideal bajo un homomorfismo puede no ser un ideal

Question

Esta es una pregunta elemental sobre los ideales. Considere un homomorfismo de anillo $$f: \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z}[x],$$ y considerar el ideal $\left < 2 \right >$ en $\mathbb {Z}$ . Cuando por qué es que $f( \left < 2 \right >)$ no es un ideal?

Algunos sitios web dicen que $f( \left < 2 \right >)$ no es un ideal porque no contiene polinomios no constantes. Eso todavía no tiene sentido en cuanto a por qué no es un ideal.

Gracias a todos.

Answer 1

Un ideal $I$ de un anillo $R$ es, por definición, "multiplicativamente absorbente"; es decir, para cualquier $s\in I$ y $r\in R$ Debemos tener $rs\in I$ .

Según la definición habitual de homomorfismo de anillos, los anillos dados $A$ y $B$ un homomorfismo de anillo $f:A\to B$ debe satisfacer $f(1_A)=1_B$ por lo que existe, de hecho, un único homomorfismo de anillo $f:\mathbb{Z}\to R$ para cualquier anillo $R$ . En el caso de $R=\mathbb{Z}[x]$ Esto es exactamente lo que se espera, ya que $f(1)=1$ tenemos $f(n)=n$ para todos $n\in\mathbb{Z}$ .

El conjunto $S=f(\langle 2\rangle)$ en $\mathbb{Z}[x]$ es, por supuesto, sólo $$S=\{g\in\mathbb{Z}[x]\mid g=2k\text{ for some }k\in\mathbb{Z}\},$$ es decir, los enteros pares. Por ejemplo, $2\in S$ . Pero $x\in \mathbb{Z}[x]$ y $2x\notin S$ Así que $S$ no es un ideal de $\mathbb{Z}[x]$ .

Answer 2

En sentido estricto, la extensión de un ideal $I$ bajo un homomorfismo $f:A \to B$ de anillos es definido para ser el ideal $f(I)B.$ Como muestra este ejemplo, tomar el imagen del ideal $I$ podría no dar lugar a un ideal en absoluto. Afortunadamente para la geometría algebraica, la imagen inversa de un ideal bajo un homomorfismo es de nuevo un ideal.

Answer 3

Sólo quiero reflejar esto con palabras, ya que creo que las ideas son bastante simples.

Su título se refiere a la extensión de un ideal. De hecho, has ampliado el anillo, pero no has ampliado el ideal. Como otros señalan, hay un ideal generado por la imagen de tu ideal original bajo la inclusión, y ésta es la noción adecuada de la extensión de tu ideal original.

Así que la principal razón por la que $\left< 2\right>$ no es un ideal en el anillo extendido $\mathbb Z[x]$ es que no es lo suficientemente grande. Si piensas en lo mucho que se puede extender un anillo, tu ideal no puede esperar seguir el ritmo a menos que se extienda también.

No siempre la ampliación conduce a un ideal adecuado: piense en la inclusión $f: \mathbb Z \to \mathbb Q$

Answer 4

$f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}[x]$ es el $f(z) = z$ . Así que $f(\langle 2 \rangle)$ son todos los polinomios constantes pares.

La definición de un ideal es que para todos $P \in \mathbb{Z}[x]$ y $Q \in f(\langle 2 \rangle)$ , hay que tener $PQ \in f(\langle 2 \rangle)$ . Así que dejemos $P = x$ y $Q = 2 \in f(\langle 2 \rangle)$ . Entonces $PQ = x\cdot 2 = 2x \notin f(\langle 2 \rangle)$ desde $f(\langle 2 \rangle)$ está formado sólo por polinomios constantes pares. Así que $f(\langle 2 \rangle)$ no es un ideal de $\mathbb{Z}[x]$ .

Answer 5

$I$ es un ideal de $A$ si

$\forall i,j \in I, \forall a \in A \implies ai \in I$ y $i+j \in I$ .

$f((2))$ no es un ideal de $\mathbb{Z}[x]$ porque

$i:=2 \in f((2))$

$a:=x \in \mathbb{Z}[x]$ ,

pero

$ai=x \times 2 \notin f((2))$ porque $f((2))=2\mathbb{Z}$ .

Has cambiado de anillo. El primer anillo es $\mathbb{Z}$ . El segundo anillo es $\mathbb{Z}[x]$ .