Funcional derivado de la $\int \left( \frac{df^2 }{d^2 x} \right)^2 dx$

Question

De acuerdo a la página 7 del documento PDF

$$ \frac{\delta}{\delta f} \int \left( \frac{df^2 }{d^2 x} \right)^2 dx = \int \frac{df^4}{d^4 x} dx $$

Me gustaría ayudar a probar esta afirmación.

A pesar de que puede demostrar que

$$ \int \left( \frac{df^2 }{d^2 x} \right)^2 dx = \int \frac{df^4}{d^4 x} f dx $$

Mis intentos de "construir" el funcional derivada de esta expresión no dejar caer el plazo $f$. Ni siquiera estoy seguro de que esta es la manera correcta de ir sobre cómo solucionar el problema.

Answer 1

Bien, probablemente este es un caso de confusión de la notación. Especialmente no estoy seguro de donde usted quiere tener sus exponentes.

A mi entender, las dos ecuaciones que están mal. Sin embargo, la primera puede llevar algo de verdad: Considerar la funcional $J(f) = \int (\frac{d^2 f}{dx^2})^2 dx$. Entonces el funcional derivado de la $J$ (o diferencia) de $J$ es (integración por partes) $$ \delta J(f)(h) = \int 2\frac{d^2f}{dx^2}\frac{d^2h}{dx^2}dx = \int 2\frac{d^4 f}{dx^4} h dx. $$ Por lo tanto, se puede decir (si se ponen en un marco adecuado de los espacios de funciones) que la derivada de $J$ es $$ J'(f) = 2\frac{d^4 f}{dx^4}. $$

Para concluir: El documento pdf que enlaza es muy descuidado con la notación y, probablemente, usted puede consultar un libro uno del cálculo de variaciones para obtener más información aquí.

Answer 2

Considerar la funcional $ F \left( u \right) = \int { \left( \frac{{d}^{2} u}{d{x}^{2}} \right) }^{2} dx $.

la definición de $ v = {u}_{x} $ el siguiente:

$$ F \left( u \right) = \int_{\Omega} {{u}_{xx}}^{2} dx = \int_{\Omega} {{v}_{x}}^{2} dx = G \left( v \right) $$

Ahora, utilizando las Tartas derivado de la definición y $ L \left( x, v, {v}_{x} \right) = {{v}_{x}}^{2} $: $$ {G}' \left( v \right) = \int_{\Omega} \left( \frac{\partial}{\partial v} L \left( x, v, {v}_{x} \right) - \frac{d}{dx} \frac{\partial}{\partial {v}_{x}} L \left( x, v, {v}_{x} \right) \right) h dx $$

Por tanto, el punto crítico que sucede en $ \frac{d}{dx} \frac{\partial}{\partial {v}_{x}} L \left( x, v, {v}_{x} \right) = 0 $ desde $ \frac{\partial}{\partial v} L \left( x, v, {v}_{x} \right) $ se desvanece.
Esto implica la E-L está dado por $ \frac{d}{dx} \frac{\partial}{\partial {v}_{x}} L \left( x, v, {v}_{x} \right) = \frac{d}{dx} 2 {v}_{x} = 2 {v}_{xx} = 0 $, lo que significa $ {u}_{xxx} = 0 $.

Esta es, probablemente, una respuesta equivocada. Sin embargo, se levantó de un debate con @Marca Peletier, de ahí que me lo marca como Wiki de la Comunidad para que la gente será capaz de ver por qué esta propiedad de la E-L no puede ser utilizado aquí.

Gracias.