¿Cómo puedo encontrar la suma?

Question

¿Cómo puedo calcular este serias?
$$\sum_{i=1}^n \frac{2^m}{2^i}\cdot i$$ Traté de hacer: $$\ 2^m\cdot\left[\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}\right]$$
Y no sé cómo continuar..
Gracias.

Answer 1

$$s(n)=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+...+\frac{n}{2^n}\quad (1)$$

multiplicar por $1/2$ y obtener

$$\frac{s(n)}{2}=\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+...+\frac{n-1}{2^{n}}+\frac{n}{2^{n+1}}\quad (2)$$

Ahora hacer $(1)-(2)$ y obtener

$$\frac{s(n)}{2}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{2^{n}}-\frac{n}{2^{n+1}}\\ s(n)=\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right]-\frac{n}{2^{n}}$$

Se puede terminar?

Answer 2

$$\frac{d}{da}^{- i} = -ia^{-i-1}\implica - \frac{d}{da}^{- i} = ia^{-i}$$ podemos escribir su suma como $$a^m\sum_{i=1}^n - \frac{d}{da}^{- i} = -a^{m+1}\frac{d}{da}\sum_{i=1}^n \left(a^{-1}\right)^i$$ Se puede tomar de aquí y reemplace$a$$2$?

Answer 3

SUGERENCIA: demostrar por inducción que $$2^m\sum_{i=1}^n\frac{i}{2^i}=2^{m-n}(-2+2^{n+1}-n)$$