Prueba del lema de Neyman-Pearson

Question

$\mathbf{Theorem}$ Dejemos que $\forall \alpha \in (0,1) \space \exists \space k$ , tal que para $W_0 = \{ x: p_1(x) \ge k p_0(x) \}$ , $$\int_{W_0} p_0(x) d\mu(x)=\alpha$$

donde $p_i(x)$ es la función de probabilidad bajo la hipótesis $i=0,1$ . Entonces $\forall W$ , de tal manera que $$\int_{W_0} p_0(x) d\mu(x) = \int_W p_0(x) d\mu(x) = \alpha$$ la siguiente desigualdad es verdadera: $$\int_{W_0} p_1(x) d\mu(x) \ge \int_W p_1(x) d\mu(x)$$ Es decir: un $H_0$ prueba basada en el conjunto $W_0$ es la prueba más potente.

$\mathbf{Proof}$

Esto está sacado directamente de mi libro de texto: \begin{align} \int_{W_0} p_1(x) d\mu(x) - \int_{W} p_1(x) d\mu(x) &= \int_{W_0-W} p_1(x) d\mu(x)- \int_{W-W_0} p_1(x) d\mu(x)\\ & \ge \int_{W_0-W} k p_0(x) d\mu(x)- \int_{W-W_0} k p_0(x) d\mu(x)\\ &= \int_{W_0} k p_0(x) d\mu(x) - \int_{W} k p_0(x) d\mu(x) \\ &= k \alpha - k \alpha\\ &=0 \end{align}

No entiendo la magia de la primera línea.

$$\int_{W_0-W} p_1(x) d\mu(x)- \int_{W-W_0} p_1(x) d\mu(x)$$

¿Cuál es el significado de $W_0 - W$ ? Estos son conjuntos, por lo que no deberíamos tener $W_0 \setminus W$ ¿en su lugar?

Sé que no podemos decir directamente que $$\int_{W_0} p_1(x) d\mu(x) - \int_{W} p_1(x) d\mu(x) \ge \int_{W_0} k p_0(x) d\mu(x) - \int_{W} k p_0(x) d\mu(x) $$ porque sólo sabemos que $\forall x \in W_0$

$$\int_{W_0} p_1(x) d\mu(x) \ge \int_{W_0} k p_0(x) d\mu(x)$$ y lo mismo no es necesariamente cierto para $x \in W$ .

Pero, ¿cómo nos ayuda el paso intermedio? (es decir, ¿qué pasa ahí?)

Answer 1

En primer lugar, $A-B$ se utiliza a menudo en lugar de $A\setminus B$ Véase, por ejemplo, el libro de Durrett sobre la probabilidad. En segundo lugar, sabemos que si $x\in W_0$ entonces $p_1(x)\geq k p_0(x)$ y si $x\notin W_0$ entonces $p_1(x)\leq kp_0(x)$ lo que implica $$ -p_1(x)\geq-kp_0(x)\quad\forall x\notin W_0. $$ Creo que ahora quedará claro cómo podemos conseguir la desigualdad mágica.