Una pregunta acerca de en qué medida un conocido teorema de Sierpinski puede ser fortalecido

Question

Sea E un finito dimensional en el espacio Euclidiano. Un conocido teorema de Sierpinski indica que si C es un infinito compacto, es decir, cerrado y acotado-conectado subconjunto de E, entonces C no puede ser el contable de la unión de pares distintos subconjuntos cerrados de E. también he visto un teorema de Hausdorff lo que implica que la misma conclusión se sigue manteniendo, si C es cualquier infinita cerrado conectado subconjunto de E-no necesariamente compacto-siempre C está conectado localmente. Mi pregunta es: ¿Hausdorff del teorema de seguir a la espera, si uno cae el requisito de que C debe ser conectado localmente?..........Algunas de las declaraciones que he leído en la literatura parecen sugerir que la respuesta es "Sí" siempre que el infinito conectado subconjunto C de E es localmente compacto. Este sin duda será el caso si E es un número finito dimensional espacio Euclidiano y C es un subconjunto cerrado de E. Pero no estoy muy claro sobre la situación en su conjunto.

Answer 1

Sierpinsky él mismo construyó un ejemplo de un circuito cerrado conectado subconjunto de $R^3$ que es una contables de la unión de pares distintos cerrado no vacía de subconjuntos.

W. Sierpinski, Sur guelgues proprietes topologiques du plan, de Fondo. De matemáticas. 4 (1923), 1-6.