El límite de $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}n^{\frac1k}$

Question

Mientras que jugando con algunas secuencias, me encontré con el siguiente problema:

Decidir si el límite de la secuencia de $\left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$ da por: $$x_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}n^{\frac1k}$$ sale y si es así, calcule.

Bajo el supuesto de que el límite existe, me demostró que es $2$:

Límite inferior: $$x_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}n^{\frac1k}=1+\frac{1}{n}\sum_{k=2}^{n}n^{\frac1k}≥1+\frac{n-1}{n}\implies\\ x:=\lim_{n\to\infty}x_n≥2$$ Para el límite superior he demostrado que: $$x_{mn}≤\frac{1}{mn}\left[\left(\sum_{r=1}^{m-1}\exp\left(\frac{\log(mn)}{r}\right)\right)-(m-1)\exp\left(\frac{\log(mn)}{mn}\right)\right]+\left(mx_n\right)^\frac{1}{m}$$ Bajo el supuesto de que el límite existe, podemos considerar $n\to\infty$ que produce: $$x≤1+\left(mx\right)^\frac{1}{m}$$ Por entonces, teniendo en cuenta $m\to\infty$ esto implica $x≤2$ e lo $x=2$.

Pero no puedo pensar en un enfoque para demostrar la existencia de $x$. La secuencia parece ser monótona decreciente para $n≥13$, lo que sugiere la utilización de la inducción, sino para relacionarse $x_n$ $x_{n+1}$ le parece muy duro. ¿Cómo puede ser probada?

Gracias de antemano.

Ps: por Si ayuda, puedo agregar demostrar que el límite superior, solo un comentario.

Answer 1

Podemos dividir la suma

$$\begin{align} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n n^{\frac{1}{k}} &= 1 + \frac{1}{n}\sum_{2 \leqslant k \leqslant n^{1/3}} n^{\frac{1}{k}} + \frac{1}{n}\sum_{n^{1/3} < k \leqslant n} n^{\frac{1}{k}}\\ &\leqslant 1 + \frac{1}{n}\cdot \sqrt{n}\cdot n^{1/3} + \frac{n - \lfloor n^{1/3}\rfloor}{n}\cdot n^{1/(n^{1/3})}\\ &\leqslant 1 + n^{-1/6} + n^{1/(n^{1/3})}, \end{align}$$

donde el segundo término converge a $0$, y la tercera a $1$ desde $\frac{\log n}{n^{1/3}} \to 0$, mostrando

$$\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k = 1}^n n^{\frac{1}{k}} \leqslant 2.$$