Las intersecciones de las tangentes con cúbicos son colinear

Question

Estoy tratando de hacer Ejercicio 5.33 en la página 64 de Fulton libro sobre curvas algebraicas.

5.33 Deje $C$ ser una irreductible cúbicos, $L$ una línea tal que $L\bullet C = P_1+ P_2 + P_3,$ $P_i$ distintas. Deje $L_i$ ser la línea tangente a $C$ a $P_i:$ $L_i \bullet C = 2P_i + Q_i$ para algunos $Q_i.$ Muestran que $Q_1, Q_2, Q_3$ se encuentran en una recta. ($L^2$ es una cónica!)

Agradecería cualquier ayuda en la solución de este problema.

La información de los antecedentes para su comodidad: recordemos que para dos proyectiva del plano de curvas de grado con ningún componente común, se han definido $F\bullet G$ a ser la suma formal

$$F\bala G = \sum_{P\in \mathbb{P}^2} I(P,F\cap G) P.$$

donde $I(P, F\cap G)$ es la intersección de número de $F$ $G$ $P.$ La intersección número es $1$ si y sólo si $F$ $G$ reunirse en $P$ en sentido transversal, lo que significa que $P$ es un punto simple en ambos $F$ $G,$ y la tangente a $F$ a $P$ es distinta a la de la tangente a $G$ $P.$ La primera condición en nuestro problema significa que $L$ intersecta $C$ transversalmente en $3$ distintos puntos de $P_i.$ La versión más simple de este problema es al $P_i\neq Q_i, i=1,2,3$ (i.e cuando cada tangente $L_i$ cumple con $C$ nuevo en otro de los puntos de $\neq P_i$) luego dice: Mostrar que los tres puntos cuando las tangentes de nuevo se cruzan $C$ se encuentran en una recta.

No estoy seguro de cómo proceder, muchas cosas parecen que podrían ser relevantes (Max Noether del teorema ha sido cubierto y Bezouts a la derecha antes de eso), sobre todo esta:

Proposición 2. Deje $C, C'$ ser cúbicas, $C'\bullet C = \sum_{i=1}^9 P_i;$ supongamos $Q$ es una cónica, y $Q\bullet C = \sum_{i=1}^6 P_i.$ Asumen $P_1,\cdots, P_6$ son simples puntos en $C.$ $P_7, P_8, P_9$ acostará sobre una línea recta.

Por favor alguien puede ayudarme con esta pregunta?

Answer 1

Sí, aplicar su Proposición con $C'=L_1L_2L_3$$Q=L^2$.