Un problema acerca de la dimensión de la intersección de dos subespacios

Question

Estoy tratando de resolver el problema siguiente.

$U$ $W$ son subespacios de polinomios sobre $\mathbb{R}$.

$U = Span(t^3 + 4t^2 - t + 3, t^3 + 5t^2 + 5, 3t^3 + 10t^2 -5t + 5)$ $W = Span(t^3 + 4t^2 + 6, t^3 + 2t^2 - t + 5, 2t^3 + 2t^2 -3t + 9)$

¿Qué es $dim(U \cap W)$?

Yo lo he solucionado usando el hecho de que $dim(U) + dim(W) - dim(U \cap W) = dim(U \cup W)$, pero se estaba preguntando cómo resolver sin el uso de este hecho.

Con el fin de encontrar $dim(U \cap W)$, la primera vez que intenta encontrar a $U \cap W$.

Claramente si $v \in U \cap W$, luego $$\alpha_1(t^3 + 4t^2 - t + 3) +\alpha_2(t^3 + 5t^2 + 5) +\alpha_3(3t^3 + 10t^2 -5t + 5) = \beta_1(t^3 + 4t^2 + 6) + \beta_2(t^3 + 2t^2 - t + 5) + \beta_3(2t^3 + 2t^2 -3t + 9)$$ for some $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3 \in \mathbb{R}$.

El uso de este hecho, se puede reducir a un sistema de ecuaciones lineales de trabajar que:

$\alpha_1 + 5\alpha_3 - \beta_2 - 3\beta_3 = 0$

$\alpha_2 -2 \alpha_3 + 2\beta_2 + 6\beta_3 = 0$

$\beta_1 + 2\beta_2 + 5\beta_3 = 0$

Pero no sé a dónde ir desde aquí.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Considere la posibilidad de un polinomio $p(t)=at^{3}+bt^{2}+ct+d$ pertenecientes a $U$$V$, al mismo tiempo, y resolver dos sistemas separados para encontrar las condiciones para $p(t)$ $U$ y además de encontrar el coditions para $p(t)$ $V$ y una vez que encuentre los dos de la lista de condiciones que considere un sistema en el unkowns $a,b,c$.

$$p(t)=\alpha_1(t^3 + 4t^2 - t + 3) +\alpha_2(t^3 + 5t^2 + 5) +\alpha_3(3t^3 + 10t^2 -5t + 5)$$

$$ p(t)=\beta_1(t^3 + 4t^2 + 6) + \beta_2(t^3 + 2t^2 - t + 5) + \beta_3(2t^3 + 2t^2 -3t + 9)$$

entonces

$$at^{3}+bt^{2}+ct+d=\alpha_1(t^3 + 4t^2 - t + 3) +\alpha_2(t^3 + 5t^2 + 5) +\alpha_3(3t^3 + 10t^2 -5t + 5)$$

$$at^{3}+bt^{2}+ct+d=\beta_1(t^3 + 4t^2 + 6) + \beta_2(t^3 + 2t^2 - t + 5) + \beta_3(2t^3 + 2t^2 -3t + 9)$$

esto implica que

Para $U$ usted necesita para encontrar las condiciones en las $a,b$ $c$ para el siguiente sistema tenga solución:

$$at^{3}+bt^{2}+ct+d=\alpha_1(t^3 + 4t^2 - t + 3) +\alpha_2(t^3 + 5t^2 + 5) +\alpha_3(3t^3 + 10t^2 -5t + 5)$$

$$A_{U}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&3&a\\ 4&5&10&b\\ -1&0&-5&c\\ 3&5&5&d \end{array}\right)$$

Para $V$ usted necesita para encontrar las condiciones en las $a,b$ $c$ para el siguiente sistema tenga solución:

$$at^{3}+bt^{2}+ct+d=\beta_1(t^3 + 4t^2 + 6) + \beta_2(t^3 + 2t^2 - t + 5) + \beta_3(2t^3 + 2t^2 -3t + 9)$$

$$A_{V}=\left(\begin{array}{ccc|c} 1&1&2&a\\ 4&2&2&b\\ 0&-1&-3&c\\ 6&5&9&d \end{array}\right)$$

La fila de la forma escalonada reducida de a $A_{U}$ le dará las condiciones para que un polinomio sea en $U$. El mismo para $A_{V}$. Estas condiciones son las ecuaciones lineales en $a,b,c$ que usted puede poner en un sistema de ecuaciones lineales en las variables $a,b,c$ encontrar finalmente las condiciones para $p(t)$ a estar en la intersección de las $U$$V$.

Answer 2

Considere la matriz:

\begin{bmatrix} 1 & 4 & -1 & 3 \\ 1 & 5 & 0 & 5 \\ 3 & 10 & -5 & 5 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \\ 2 & 2 & -3 & 9 \\ \end{bmatrix} Fila reducir la matriz a su Fila reducido de forma escalonada para obtener la base de $U + W = Span\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6 \}$.

A continuación, utilizar la fórmula:

$dim(U + W) = dim(U) + dim(W) - dim(U \cap W) \}$.