La prueba de las Declaraciones que implican Conjuntos

Question

1) $(P \vee Q) \Rightarrow R$
2) $(P \Rightarrow R) \wedge (Q \Rightarrow R)$

Explicar por qué 1 y 2 son equivalentes declaraciones.

Intento de solución:

Me convertí 1 y 2 de estas afirmaciones son equivalentes:

1) $(P \cup Q) \subseteq R$

2) $(P \subseteq R) \cap (Q \subseteq R)$

Ahora, esto parece lógico, pero no sé cómo demostrarlo? Cualquier ayuda es muy apreciada, gracias.

EDIT: debería haber dicho la verdad de las tablas no son necesarias.

Answer 1

Si no están dispuestos a utilizar las tablas de verdad, a continuación, los siguientes son equivalentes $$(P \lor Q) \rightarrow R$$ $$\lnot(P \lor Q) \lor R$$ $$(\lnot P \land \lnot Q) \lor R$$ $$(\lnot P \lor R) \land (\lnot Q \lor R)$$ $$(P \rightarrow R) \land (Q \rightarrow R)$$

Answer 2

Usted debe utilizar las tablas de verdad, o se puede argumentar por contrapositivo.

Para demostrar $(P \vee Q) \Rightarrow R$$(P \Rightarrow R) \wedge (Q \Rightarrow R)$, es equivalente a demostrar que cuando se $(P \Rightarrow R) \wedge (Q \Rightarrow R)$ es falsa, entonces la $(P \vee Q) \Rightarrow R$ es falso también.

Cuando se $(P \Rightarrow R) \wedge (Q \Rightarrow R)$ falso?

A continuación, para demostrar la otra dirección inversa de las fórmulas de arriba, y otra vez;

Cuando se$(P \vee Q) \Rightarrow R$ falso?

En ambos de estos casos, se puede encontrar condiciones suficientes en $P,Q,R$, a continuación, establecer la instrucción.

Answer 3

Normalmente es al revés: las propiedades básicas de propositionsal cálculo y conectivos lógicos son establecidas a partir de los primeros principios y, a continuación, las correspondientes propiedades de los conjuntos y el conjunto de la teoría de las operaciones se concluye a partir de ellos. Por lo que las propiedades de $\cap$ se deducen de las propiedades de $\wedge$; las propiedades de la $\subseteq$ se deducen de las propiedades de $\Rightarrow$, etc.

Usted parece estar tratando de ir a otro lado. A menos que esta es la forma en que fue hecho en su clase o libro, es probable que esto no sería aceptable. Por otra parte, el segundo conjunto de la teoría de la instrucción que se escribe en realidad no hacen mucho sentido como un conjunto de la teoría de la instrucción: $$(P\subseteq R)\cap(Q\subseteq R)$$ no es un bien formado fórmula de la teoría de conjuntos: $\cap$ es un operador entre conjuntos, sino $\subseteq$ es una relación; $P\subseteq R$ no es un conjunto, sino una declaración acerca de los conjuntos, y $\cap$ no puede funcionar en las declaraciones sobre conjuntos, sólo en conjuntos.

Answer 4

En lugar de trabajar con la verdad-tablas o Venndiagrams sólo se podía razonar con estas declaraciones:

Suponga que (1) se mantiene. Entonces R es verdadera siempre que P o Q es verdadera. Así que suponga que P se mantiene, entonces "P o Q" tiene y por lo tanto R tiene. Del mismo modo Q implica R. Tenemos que (2) se mantiene.

Ahora suponga que (2) se mantiene. Vamos a "P o Q" de ser cierto, se puede suponer sin pérdida de que P es verdadera. Pero a partir de (2) sabemos que P implica R, por lo tanto R tiene. Los medios de que (1) se mantiene.

Ahora (1) implica (2) y (2) implica (1), esto significa que ambos son de hecho equivalentes.

Este es sin duda menos "formal" de lo que se podría esperar (aunque tambien puede ser hecha formal). Pero es este tipo de razonamiento, uno se suele hacer en una prueba matemática y debido a que es útil ser capaz de pensar de esta manera.