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Question

Posibles Duplicados:
Diferentes métodos para calcular los $\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$
Qué $\sum\limits_{k=1}^n 1 / k ^ 2$ convergen al $n\rightarrow\infty$?

He leído mi libro de EDP, y allí aparece la siguiente serie $$\sum _{k=1} \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$$ Y, también, se demuestra que esta serie es igual a $\frac{\pi^2}{6}$ para los métodos od análisis de Fourier, pero...

¿Sabes otra prueba, más simple o hermoso?

Answer 1

Catorce pruebas compiladas por robin chapman.

http://empslocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

Answer 2

Si sólo desea mostrar converge, entonces las sumas parciales están aumentando, pero la serie está limitada anteriormente por $$1+\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx=2$$ and below by $$\int_1^\infty \frac{1}{x^2} dx=1,$$ since $\int_{k}^{k+1} \frac{1}{x^2} dx \lt \frac{1}{k^2} \lt \int_{k-1}^{k} \frac{1}{x^2} dx$.