Coeficientes de binomio Combinatoria

Question

Para un número entero positivo n, pruebe que

$$ \displaystyle\sum\limits_ {v=0}^n \frac {(2n)!}{(v!)^2 ((n-v)!)^2} = \binom {2n}{n}^2.$$

Si alguien pudiera ayudarme con esta pregunta, se lo agradecería mucho.

Answer 1

Una prueba combinatoria. El lado derecho corresponde a la elección de dos conjuntos de tamaño (posiblemente superpuestos) $n$ de $2n$ elementos.

Ahora observamos eso:

$$ \dfrac {2n!}{v!^2(n-v)!^2} = \binom {2n}{n} \binom n v \binom n{n-v}$$

Si dividimos el conjunto de $2n$ elementos en dos conjuntos fijos de $n$ elementos, y luego elegir $n$ de las cantidades del conjunto original a la recolección $v$ desde el primer set, y $n-v$ desde el segundo, para $v =0 \ldots n$ .

Por lo tanto, encontramos que

$$ \sum_ {v=0}^n \binom nv \binom n{n-v} = \binom {2n}n$$

que finalmente conduce a la deseada

$$ \sum_ {v=0}^n \frac {2n!}{v!^2(n-v)!^2} = \sum_ {v=0}^n \binom {2n}{n} \binom n v \binom n{n-v} = \binom {2n}n \sum_ {v=0}^n \binom nv \binom n{n-v} = \binom {2n}n^2$$

Answer 2

$$ \frac {(2n)!}{(v!)^2 ((n-v)!)^2} = \frac {(2n)!}{n!n!} \cdot \left ( \frac {n!}{v!(n-v)!} \right )^2= \binom {2n}n \cdot \left ( \frac {n!}{v!(n-v)!} \right )^2$$

$$ \sum\limits_ {v=0}^n= \frac {(2n)!}{(v!)^2 ((n-v)!)^2} = \binom {2n}n \cdot\sum\limits_ {v=0}^n \left ( \frac {n!}{v!(n-v)!} \right )^2$$

Ahora, iguala los coeficientes de $x^n$ en la siguiente identidad $$(1+x)^n(x+1)^n=(1+x)^{2n}$$ para encontrar $$ \sum\limits_ {v=0}^n \left ( \frac {n!}{v!(n-v)!} \right ) \cdot \left ( \frac {n!}{v!(n-v)!} \right )= \binom {2n}n$$