Que $E$ ser una curva elíptica y $d$ un entero squarefree. ¿Si $E'$ y $E$ son isomorfos $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, debe un giro cuadrático de $E'$ $E$?
Respuesta
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Sí, esto es cierto, para curvas elípticas sobre cualquier campo de $K$ de características diferentes de$2$,$d \in K^{\times}$. [El argumento doy también queda lejos de la característica $3$. De hecho, usted puede trabajar en el carácter $2$ así que si usted hacer algunas pequeñas modificaciones.]
Recordemos primero que dos curvas elípticas sobre $K$ son isomorfos durante la clausura algebraica $\overline{K}$ fib tienen el mismo $j$-invariante. Ver, por ejemplo, el Teorema 5.10 en estas notas. La prueba demuestra que un cambio de variables a partir de uno de Weierstrass de curva elíptica
$E: y^2 = x^3 + Ax+B$
a un segundo de Weierstrass de curva elíptica
$E': y^2 = x^3 + A'x + B'$
con el mismo $j$-invariante está dada por
$(x,y) = (u^2X,u^3Y)$
con $u = (A/A')^{\frac{1}{4}} = (B/B')^{\frac{1}{6}}$,
siempre $A'B' \neq 0$. En este caso nos encontramos con $u^4, u^6 \in K$ por lo tanto $u^2 \in K$, decir $u^2 = d$. Por lo tanto $E$ $E'$ llegan a ser isomorfo sobre la extensión cuadrática $K(\sqrt{d})$ y si usted busca un poco en las ecuaciones vas a ver que $E'$ es la cuadrática giro de $E$$d$.
Los casos de $B' = 0$ --, equivalentemente,$j = 1728$$A' = 0$ --, equivalentemente, $j = 0$ -- realmente son ligeramente diferentes. En estos casos, se puede realmente necesitar para pasar a un grado $4$ o grado $6$ de extensión con el fin de $E$ $E'$ a ser isomorfo y hablamos de cuarto grado y sextic giros en este caso. Pero una vez que analizar cuidadosamente lo que sucede-ver los ejercicios de la siguiente Teorema 5.10, se puede ver que el isomorfismo entre el $E$ $E'$ puede ser realizado a través de una extensión cuadrática si y sólo si $u^2$ (resp. $u^3$) se encuentra en $K$, por lo que el establecimiento $d = u^{\frac{1}{4}}$ (resp. $d = u^{\frac{1}{6}}$) todavía le da una ecuación cuadrática de la torsión.
