Ejemplo de una función con infinitos ceros en el disco

Question

Una de las preguntas en mi análisis complejo libro (Stein texto) es la siguiente:

Probar que si $f$ es holomorphic en la unidad de disco, limitada, y no es idénticamente cero, y $z_1,z_2,\ldots,z_n,\ldots$ son sus ceros, $(|z_k|<1)$, luego $$ \sum_{n=1}^\infty(1-|z_n|)<\infty. $$

He probado esta muy bien el uso de Jensen fórmula, pero todavía no estoy capaz de pensar en un ejemplo para tal función. Es obvio que va a tener un número infinito de ceros, de lo contrario sólo estamos agregando un número finito de términos y el problema se vuelve trivial. Ya que hay infinitamente muchos, el punto límite(s) tiene que ser en el límite (de lo contrario, la función es idéntica a cero). En un momento, creo que alguien sugirió una función como $\sin(\pi/z)$, pero este no es limitada (de hecho, este tiene un montón de problemas en torno a $0$).

¿Alguien tiene un ejemplo de una función?

Answer 1

Los ejemplos más simples son probablemente infinitas Blaschke productos:

$$f(z) = \prod_{n=1}^\infty \frac{z-z_n}{1-\bar z_n z}.$$

Usted puede comprobar que este producto converge cuando su condición (que se denomina la condición Blaschke) grandiosas.

Answer 2

Aquí es un ejemplo que está algo cerca de los pensamientos que tenía. $$f(z)=\exp\left(\frac{z-1}{z+1}\right)-e^{-1}$$ Here $\zeta=(z-1) /(z+1) $ maps the disk onto the left half-plane; the function $\zeta \mapsto e ^ \zeta-e ^ {-1} $ vanishes at the points $-1+2\pi i % n$ for $n\in\mathbb Z $, and satisfies $| e ^ \zeta -e ^ {-1} | \le 1 + e ^ {-1} $.

Answer 3

Clayton, otra manera de pensar es trasladar esta pregunta al medio-plano superior y utilizar un producto de Weierstrass. Intente poner ceros en $z_n=in^2$ y entonces usted no necesita los factores de corrección para obtener convergencia uniforme sobre compactos.