¿Cómo evaluar $\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)$?

Question

Tengo que encontrar el límite de lo siguiente

$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)$$

No tengo ni idea de cómo comenzar con este. ¿Cómo lo haría?

¿Simplemente sustituyo el $0$? No parece tan fácil y simple. La respuesta dice que es menos infinito.

Por favor, muéstrame una solución sin graficar (a menos que sea para una mejor explicación).

Answer 1

Una idea. Tomamos $\;x\;$ muy cercano a cero, digamos $\;|x|<10^{-4}\;$ :

$$x>0:\;\;\frac1x-\frac1{x^2}=\frac{x-1}{x^2}<\frac{-\frac12}{x^2}=-\frac1{2x^2}$$

y ahora solo tienes que mostrar que la expresión más a la derecha no tiene límite inferior, lo cual creo que es bastante fácil.

Answer 2

Como está escrito, el límite está en la llamada “forma indeterminada $\infty-\infty$”, por lo que queremos reescribirlo de otra manera para empezar con: $$ \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2} $$ No es restrictivo trabajar bajo la suposición de que $-1\frac{1}{|x|} $$ Dado que $\lim_{x\to0}(x-1)=-1$, podemos restringirnos a un intervalo alrededor de $0$ donde $x-1<-1/2$, por lo tanto $$ \frac{x-1}{x^2}<\frac{-1/2}{x^2}<-\frac{1}{2|x|} $$ Dado que $$ \lim_{x\to0}-\frac{1}{2|x|}=-\infty $$ hemos terminado.

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Sin embargo, esto se puede afirmar de una manera más general; si sabes que

1. $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=l>0$ (posiblemente $l=\infty$)
2. $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0$
3. $g(x)>0$ en un entorno de $a$ ($a$ excluido)

entonces $$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\infty $$

Nota que el límite también puede ser para $x\to a^+$ o $x\to a^-$; cambiar a $l<0$ o $g(x)<0$ es fácil con la “regla de los signos”.

La prueba es exactamente la misma que antes: dado que $\lim_{x\to a}f(x)=l>0$, podemos restringirnos a un entorno (agujereado) de $a$ donde $f(x)>k$ para algún $k>0$. Luego, dado que $\lim_{x\to a}g(x)=0$, para cualquier $M>0$ podemos elegir $\delta>0$ de modo que, para $0<|x-a|<\delta$, $|g(x)-0|0$, $1/g(x)>M/k$ y $$ \frac{f(x)}{g(x)}>k\frac{M}{k}=M $$ Esto prueba exactamente que $\lim_{x\to a}f(x)/g(x)=\infty.

Answer 3

$$\lim_{x\to 0}\frac{x-1}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{-1}{x^2} = -\infty$$

$$\lim_{x\to 0}\frac{x-1}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{-1}{x^2} = -\infty$$

Answer 4

Para $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$, si deseas saber cuál es $\lim_{x \rightarrow 0}f(0)$, intenta observar $f(\frac{1}{10}), f(\frac{-3}{100})$ y valores similares seleccionados. Eso te dará un punto de partida y te dará una idea de cuál podría ser la respuesta (o por qué el libro dice que la respuesta es la que es). Una vez que hayas decidido que la respuesta es $- \infty$, quizás quieras demostrarlo. El graficar es, en cierto sentido, una forma de observar $f(x)$ para muchos valores al mismo tiempo.

Answer 5

Una cosa útil que se puede hacer es hacer la sustitución $u=\frac{1}{x}$. Entonces, esto se convierte en $$\lim_{u\rightarrow\infty}u-u^2$$ (o el límite análogo a $-\infty$) pero $u$ crece mucho más lentamente que $u^2$, la expresión en el límite debe disminuir sin límite - en particular, dado que $u^2>2u$ si $u>2$, obtenemos que $u-u^2<-u$ si $u$ es al menos $2$, por lo que el límite está acotado por encima por $-u$ que tiende a $-\infty$.