Cómo resolver un polinomio con fracciones de poder como $a-ax+x^{0.8}-x^{0.2}=0$

Question

Tengo algo como

$a-ax+x^{0.8}-x^{0.2}=0$

con parámetro un > 0 y variable x > 0.

Sé por ensayo y error que la ecuación tiene tres raíces reales para parámetro un mayor que cierto valor, si no tiene una única raíz. x = 1 es una raíz evidente. quiero encontrar el valor del parámetro que produce múltiples raíces. ¿Hay una solución de lápiz y papel, no usando cualquier algoritmos computacionales como método del neutonio etcetera.?

Answer 1

Deje $y=x^{0.2}>0$, entonces el problema se reduce a encontrar todos los $a>0$ tales que el polinomio de la ecuación de $a-ay^5+y^4-y=0$ solo tiene 1 raíz real positiva $y=1$.

Para $y=1$ a ser una doble raíz, debemos tener $-5a(1)^4+4(1)^3-(1)=0$, lo $a=\frac{3}{5}$. Poner esto en la ecuación da $$0=\frac{3}{5}-\frac{3}{5}y^5+y^4-y=-\frac{(y-1)^2}{5}(3y^3+y^2-y-3)=-\frac{(y-1)^3}{5}(3y^2+4y+3)$$

El cuadrática $3y^2+4y+3$ no tiene raíces reales, por lo $a=\frac{3}{5}$ da solo 1 raíz real $y=1$ con multiplicidad $3$.

Considere la posibilidad de $y \not =1$, entonces podemos escribir $$a=\frac{y^4-y}{y^5-1}=\frac{y^3+y^2+y}{y^4+y^3+y^2+y+1}$$

Sabemos que $y=1$ es una raíz triple a $a=\frac{3}{5}$, por lo que esto nos motiva a considerar

\begin{align} & \frac{y^3+y^2+y}{y^4+y^3+y^2+y+1} \leq \frac{3}{5} \\ \Leftrightarrow & 3y^4+3y^3+3y^2+3y+3 \geq 5y^3+5y^2+5y \\ \Leftrightarrow & (y-1)^2(3y^2+4y+3) \geq 0 \end{align}

La función de $f(y)=\frac{y^3+y^2+y}{y^4+y^3+y^2+y+1}$ alcanza los valores de $\frac{3}{5}$ $0$ $y=1, 0$ respectivamente, por lo $f(y)$ puede tomar todos los valores de $0$ $\frac{3}{5}$exclusivo (recuerden $y \not =0, 1$) desde $f$ es continua.

Por lo tanto $\forall a \in (0, \frac{3}{5})$ existe $y>0, y \not =1$ s.t. $a=\frac{y^3+y^2+y}{y^4+y^3+y^2+y+1}$, y $\forall a \in [\frac{3}{5}, \infty)$, $y=1$ es la única raíz real positiva.