Estoy en la Universidad y aprendí álgebra lineal, teoría de conjuntos, lógica y otro tipo de matemáticas que utilizan funciones mucho. ¿Ahora, sé que la función es muy importante y útil en matemáticas pero nunca pregunté por qué necesitamos definir el dominio y el conjunto dominio de una función? ¿Cómo es útil?
Gracias de antemano.
En muchos de los casos, el dominio y el codominio de cambio de la función en sí.
El dominio es claramente importante, ya que un cambio de los cambios en el dominio de lo que está permitido "enchufan" a la función.
Por ejemplo, si tengo una función $f(x) = 2x$, no es una función ya que la necesito para definir el dominio de la primera. Por ejemplo, si el dominio es:
El codominio es más difícil de motivar, sino que nos permite diferenciar entre "donde la función está permitido golpear" y "donde la función no de golpe"
La imagen es el conjunto de todos los puntos de $\{y \ | \ y = f(x) \ \forall x \in domain \}$, que es el conjunto de todos los puntos de la función golpea cuando viene del dominio.
Sin embargo, el codominio es lo que es suministrado por el creador de la función. Por lo tanto, el codominio no necesita de la igualdad de la imagen (debe ser al menos de la imagen, pero puede ser más grande)
Por ejemplo, si la función es $f(x) = 2x$, $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, esta función tiene un mayor codominio de la gama. Esto es debido a que un valor como el de la $3 \in \mathbb{N}$, no es $x \in \mathbb{N}$ tal que $f(x) = 3$
Sin embargo, si yo hubiera dicho $f(x) = 2x$, $f : \mathbb{N} \to {0, 2, 4, \ldots}$, entonces la función tiene imagen = codominio.
Funciones que tienen acceso a toda su codominio son llamados como "en" o "surjective" (del francés, $sur$ que significa "en"), ya que en cierto sentido mapa "en" todo el codominio, en lugar de sólo en la imagen.
El dominio y el codominio son partes intrínsecas de una función. Considere los siguientes ejemplos: $$ f:\mathbb R\to\mathbb R,\ \ \ g:\mathbb R\a[0,\infty),\ \ \ h:[0,\infty)\a[0,\infty),\ \ \ j:[0,\infty)\to\mathbb R,\ \ \ k:\mathbb Z\to\mathbb N, $$ donde $$ f(x)=x^2,\ \ \ \ g(x)=x^2,\ \ \ h(x)=x^2,\ \ \ \ j(x)=x^2\ \ \ k(x)=x^2. $$ Tenemos que $h$ es bijective y por lo tanto invertible, $g$ es surjective pero no bijective, $j$ es inyectiva pero no surjective, $k$ $f$ son ni inyectiva ni surjective.
Tienen propiedades diferentes, porque son diferentes funciones.
Una función es una regla. Considere algunos de los valores de entrada, considerar la regla y, a continuación, encontrar un valor de salida. Pero esto no es una muy rigurosa definición. Se requiere un mayor grado de precisión necesario para el bien de las matemáticas:
Considere la posibilidad de su favorito de la función, $$f(x)=x^2$$ Un observador casual puede considerar que se trata de una parábola definida en la recta real, pero es que realmente así? No hemos especificado! Para definir una función, es mejor especificar qué valores puede de entrada, o a su dominio. Además, es horrible bueno saber qué valores podría ser emitida. Esa es su codominio.
Cada una de las siguientes opciones que nos proporcionan una función muy diferente, todo basado en el algoritmo que se "toman una entrada y una plaza".
$$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$
$$f: [0,1]\rightarrow\mathbb{R}$$
$$f: [0,1]\rightarrow[0,1]$$
La primera es lo que uno puede esperar, pero tenga en cuenta las variaciones en las dos últimas. El segundo y tercer ejemplos difieren aquí, debido a su especificidad. Ellos pueden proporcionar una similar de asignación, pero se comportan de manera diferente a como funciones. En particular, la tercera es surjective. Tenemos diferentes reglas, no?
Como última nota, comparar cómo varía enormemente de la función sería si hemos especificado como
$$f: \mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$$
Funciones de sí mismos son objetos matemáticos, y tenemos que razonar con ellos. No sólo funciones específicas, sino también en general de las funciones de diversos tipos.
Por ejemplo, considere el principio básico de la definición recursiva:
Si usted tiene
- Un elemento $x$ algunas $X$
- Una función de $f$ $X$ $X$
entonces existe una única función de $g$ $\mathbb{N}$ $X$satisfactorio
- $g(0) = x$
- $g(n+1) = f(g(n))$
Preste atención a que el tipo de la variable $f$: ser capaz de utilizar, necesitamos conocer su dominio y su codominio.
Esto es típico: hacer bastante casi cualquier razonamiento acerca de las variables de tipo de función, usted necesita saber su dominio y codominio.
La única pregunta es, entonces, si una función debe tener un específico tipo, o si se debe dejar de ser de muchos tipos simultáneamente.
es decir, supongamos que definir una función $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ por la ecuación
$$ f(n) = n^2 $$
En una aproximación a la noción de función, al mismo tiempo, se define una función de los números enteros los números enteros, a partir de los enteros a los números enteros no negativos, a partir de los enteros a la nonprime enteros, a partir de los enteros a los reales, a partir de los enteros a los complejos, o otro tipo de cosas que uno se podría imaginar.
La otra aproximación a la noción de función es que esos serían diferentes funciones. Sin embargo, es fácil pasar de ida y vuelta entre ellos según sea necesario. (y a menudo lo hacen sin mención explícita, ya que es fácil para el lector a llenar dijo detalle)
Yo personalmente suscribirse a este último enfoque — funciones específicas del codominio. Esto es en gran parte debido a mis experiencias con escrito de los lenguajes de programación y con la categoría de teoría.
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