Si$\lim_{x\to\infty} [f(x+1)-f(x)] =l$ entonces$\lim_{ x\to\infty}f(x)/x =l$ ($f$ es continuo)

Question

Demuestre que si$f$ es continuo en$\mathbb R$ y

PS

entonces

PS

Así que he intentado durante horas usar la definición de límites de la serie / lema de Cesaro (si$$\lim_{x \to +\infty} [f(x+1)-f(x)] = l,$ entonces$$\lim_{x\to +\infty} f(x)/x =l.$).

Estoy completamente bloqueado y no puedo conseguirlo.

Answer 1

$\epsilon>0$, Usted puede encontrar s.t. de $N$ $x>N$, $f(x+1)-f(x)\in (l-\epsilon, l+\epsilon)$; entonces $f(x+k)-f(x)\in (lk-k\epsilon, lk+k\epsilon)$ % todos $k\in\mathbb{N}$. Tenemos $$ f(x+k)=f(x)+(f(x+k)-f(x)) \in (f (x) + LC - k\epsilon, f (x) + lk + k\epsilon) $$ y $$ \frac{f(x+k)} {x + k} \in \big(\frac{f(x)} {k} + l-\epsilon, \frac{f(x)}{k}+l+\epsilon\big). $$ $x>N$ Y $k$ bastante grande, esto se encuentra en $(l-2\epsilon, l+2\epsilon)$.

Answer 2

Denota, $\displaystyle U_n = \sup\limits_{x \in [n,n+1)} f(x)$ $\displaystyle u_n = \inf\limits_{x \in [n,n+1)} f(x)$ (ambas secuencias están bien definidos, ya que, $f$ es continuo)

Dado que, para cada una de las $\epsilon > 0$,$x_n \in [n,n+1)$, de tal manera que $f(x_n) > U_n - \epsilon$.

Por lo tanto, $\displaystyle f(x_n+1) - f(x_n) -\epsilon \le U_{n+1} - U_n \le f(x_{n+1}) - f(x_{n+1} - 1) + \epsilon$, para cada una de las $n$.

Por lo tanto, $\lim\limits_{x \to \infty} f(x+1) - f(x) = \lim\limits_{n \to \infty} U_{n+1} - U_n = l$

Del mismo modo, uno puede mostrar que $\lim\limits_{n \to \infty} u_{n+1} - u_n = l$

Ahora una aplicación directa de Stolz–Cesàro teorema, rendimiento

$\displaystyle \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{U_n}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} U_{n+1} - U_n = l$ $\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{u_n}{n+1} = l$.

Ya, $\displaystyle \frac{u_n}{n+1} \le \dfrac{f(x)}{x} \le \dfrac{U_n}{n}$ todos los $x \in [n,n+1)$, llegamos a la conclusión de $\displaystyle \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = l$.