Una pregunta sobre mapeos abiertos.

Question

Deje que$X$ sea un espacio métrico. $f: X \to Y=f(X)$ es un mapeo abierto y continuo. ¿Debe$Y$ ser un espacio métrico? Gracias por tu ayuda.

Answer 1

No. Permitir que$X = \mathbb{R}$ y dejar que$Y = \{a, b\}$ tenga la topología$\{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}\}$. Defina el mapa$f: \mathbb{R} \to Y$ por$f(0) = b$ y$f(x) = a$ para todos$x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$. Entonces,$f$ está abierto, continuo y en, pero$Y$ no es metrizable.