Serie de recíprocos de enteros

Question

Esta es una pregunta que me hice hoy...

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¿Sabe usted si es posible construir una secuencia estrictamente creciente $(u_n)_{n\in\mathbb{N}^\star}$ de números enteros positivos tales que $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{u_n}<+\infty$ y tal que para cualquier $0<\varepsilon<1$ , uno tiene $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{u_n^\varepsilon}=+\infty$ ?

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Se trata de buscar una serie de Dirichlet (con recíproco de $u_n$ coeficientes) con abscisa de convergencia $\sigma=1$ y que tiene un límite finito en $s=1$ ¿Existe eso? Significaría que la función L correspondiente (si la serie fuera extensible alrededor de $s=1$ ) no tendría ningún polo en $s=1$ . Esto es difícil porque la función L no estaría en la clase Selberg, y esas son difíciles de estudiar...

Answer 1

Puede tomar $u_n = \lceil n \log^2 n\rceil$ : $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n \log^2 n} < \infty $$ pero $$ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\varepsilon \log^{2\varepsilon} n} = \infty $$ por cada $\varepsilon < 1$ .