Supongamos $h : S^1 \times I \to \Sigma$ es un buen homotopy entre los nudos $K_0 = h(-, 0)$ e $K_1 = h(-, 1)$. Considere la película $f : S^1 \times I \to \Sigma \times I$ de la homotopy, definido por $f(x, t) = (h(x, t), t)$.
Yo reclamo que $f$ es homotópica, relativa a su límite, a un mapa de $g$ que es una inmersión con mielitis el doble de puntos, es decir, $g$ es una incrustación de distancia a partir de un número finito de puntos de $x_1, y_1, \cdots, x_n, y_n \in S^1 \times I$ tal que $g(x_k) = g(y_k) = p_k$ para $1 \leq k \leq n$ e $\text{im} \,dg_{x_k} \pitchfork \text{im} \, dg_{y_k}$. Esto se desprende de un auto-transversalidad teorema que me has dicho y dado un bosquejo de la prueba a continuación.
Como cuestión de hecho, $g$ puede ser elegido para ser $C^1$-cerca de las $f$ así. $f$ fue completamente horizontal a $\Sigma$, es decir, si denotamos $f_t = f|S^1 \times \{t\}$ a ser la restricción en el $t$-slice, $f_t' \subset (d\pi)^*T\Sigma$ donde $\pi : \Sigma \times I \to \Sigma$ es la proyección. Por lo tanto, $g_t (=g|S^1 \times \{t\})$ debe $\varepsilon$horizontal de a $\Sigma$, y, en particular, $g_t' \notin \ker d\pi$. Esto significaría $\pi \circ g_t$ es una inmersión para todos los $t \in I$.
Tenga en cuenta que esto es casi suficiente para lo que quieres: Tome $H = \pi_\Sigma \circ g$ a ser su nuevo homotopy. Este es un homotopy de $K_0$ a $K_1$ a través de inmersiones, y la única dificultad es que $H_t$ podría permanecer en un singular nudo para un intervalo de tiempo de $t \in J \subset I$, mientras que usted desea permanecer allí por sólo un número finito de puntos en $I$. Localmente, cerca de un cruce, $(H_t)_{t \in I}$ sería como un par de undercrossing-overcrossing que poco a poco crece más, se queda en la posición de "$\mathsf{X}$" para el intervalo de $t \in J$ y, a continuación, crece aparte y se convierta en un par de overcrossing-undercrossing. Modificamos $H$ cerca de los puntos, por lo que sólo se mantiene como un "$\mathsf{X}$" para un punto de $t = t_0 \in J$. Luego modificarlo $H$ , de modo que el doble de puntos se introducen uno a la vez, yo.e, $H_t$ tiene al menos un doble punto.
Supongamos $M$ es un compacto $n$-colector y $N$ es un compacto $2n$-colector. Deje $C^\infty(M, N)$ ser el espacio de suave mapas y $\text{Imm}(M, N)$ ser el subespacio de este tipo de mapas que son inmersiones.
Llamar a un mapa de $f \in \text{Imm}(M, N)$ a ser una inmersión limpia con el doble de puntos si siempre $x, y \in M$, e $f(x) = f(y) = p$, existe gráficos de $U, V$ todo $x, y$ , respectivamente, tal que $f|_U, f|_V$ son incrustaciones, $f(U)$ intersecta $f(V)$ transversalmente, y $f(U) \cap f(V) = \{p\}$. Denota el subespacio de tales mapas como $\text{Imm}_{\pitchfork}(M, N)$
Teorema (Auto-transversalidad de mapas): $\text{Imm}_\pitchfork(M^n, N^{2n})$ es denso en $C^\infty(M^n, N^{2n})$.
Deje $J^1(M, N)$ ser el espacio de $1$-chorros de mapas de $M \to N$ e $\mathscr{S} \subset J^1(M, N)$ ser el subconjunto de $1$-chorros de no inmersiones. El espacio de $1$-jets es un afín bundle $M_{2n \times n}(\Bbb R) \to J^1(M, N) \to M \times N$ con fibra de mantener un registro formal de la derivada componente. Deje $\Sigma_{< n} \subset M_{2n \times n}(\Bbb R)$ ser el estratificado subconjunto de las matrices de grado estrictamente menor que $n$. Como $\mathscr{S}$ fibras de más de $M \times N$ con fibra de $\Sigma_{< n}$, también es un estratificado subconjunto de $J^1(M, N)$.
Dado cualquier mapa de $f \in C^\infty(M, N)$, consideran que es de 1 chorro de prolongación $j^1 f : M \to J^1(M, N)$. Por Thom transversalidad teorema, podemos homotope $f$ por $C^1$-pequeño homotopy a $g \in C^\infty(M, N)$ tal que $j^1 g \pitchfork \mathscr{S}$. Pero observe que $\dim J^1(M, N) = n(2n+3)$, lo $\text{codim}\, j^1g(M) = \dim J^1(M, N)$ $- \dim M$ $=$ $2n(n+1)$ mientras que $\text{codim}\, \mathscr{S}$ $=$ $\text{codim}_{M_{2n \times n}(\Bbb R)} \Sigma_{< n}$ $=$ $n+1$, lo $\text{codim}\, j^1 g(M)$ $+$ $\text{codim}\, \mathscr{S}$ $>$ $\dim J^1(M, N)$, obligando a $j^1 g$ a ser disjunta de a$\mathscr{S}$. Esto implica $j^1 g$ tiene rango $n$ todas partes, es decir, $g$ es una inmersión.
Esto implica $\text{Imm}(M, N)$ es denso en $C^\infty(M, N)$. Ahora para cualquier $f \in \text{Imm}(M, N)$ considerar el mapa de $F : M \times M \to N \times N$, $F(x, y) = (f(x), f(y))$. Por un $C^1$-pequeño homotopy se puede modificar el $F$ a $G$ , de modo que $G$ es transversal a la diagonal $\Delta_N \subset N \times N$. Deje $G|\Delta_M$ ser la restricción a la diagonal de $M \times M$. Como $G$ es $C^1$-cerca de las $F$, la imagen de $G|\Delta_M$ encaja dentro de una $\epsilon$-barrio de $\Delta_N \subset N \times N$, y por $\epsilon$-barrio teorema tenemos una normal de proyección de mapa a $\Delta_N$, con el que se componen para conseguir un mapa de $g : M \to N$. $g \times g$ es $C^1$-cerca de las $G$ cerca de $\Delta_M$, y desde $G \pitchfork \Delta_N$, por la estabilidad de transversales mapas, $(g \times g) \pitchfork \Delta_M$ debe mantener así. Por lo tanto, $g \in \text{Imm}_\pitchfork(M, N)$.
Esto implica que tenemos una torre de forma sucesiva densa subespacios $$\text{Imm}_\pitchfork(M, N) \subset \text{Imm}(M, N) \subset C^\infty(M, N)$$
En particular, $\text{Imm}_\pitchfork(M, N)$ es denso en $C^\infty(M, N)$, según se requiera. (Tenga en cuenta que para el de arriba tenemos un familiar hasta los límites de la versión de este, pero una vez $f$ es ya una incrustación restringido (un collar de barrio) en el límite, podemos hacer todos los homotopies la fijación de la frontera.)
