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Question

<blockquote> <p>Encontrar <span class="math-container">$\lim_{n\to \infty}((n+1)!) ^{\frac{1}{n+1}}-((n)!) ^ {\frac{1}{n}}.$</span></p> </blockquote> <p>Tenemos que tratar el límite <span class="math-container">$\lim_{n\to \infty} \frac{\log(1)+\log(2)+...+\log(n)}{n}$</span>. Sabemos que <span class="math-container">$\lim_{n\to \infty} \log(n)=\infty \implies \lim_{n\to \infty} \frac{\log(1)+\log(2)+...+\log(n)}{n}=\infty$</span>(desde, el primer teorema de By Cauchy en el límite). Por lo tanto obtenemos <span class="math-container">$\infty-\infty$</span>. ¿Cómo demuestro que existe límite finito?</p>

Answer 1

SUGERENCIA:

Usando la fórmula de Stirling tenemos

<span class="math-container"> $$\begin{align} \left((n+1)!\right)^{1/(n+1)}-\left(n!\right)^{1/n}&=\left(\left(\sqrt{2\pi(n+1)}\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\right)\left(1+O(1/n)\right)\right)^{1/(n+1)}\\ &-\left(\left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\right)\left(1+O(1/n)\right)\right)^{1/n} \end {Alinee el}$$ </span>

¿Puede terminar ahora?

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Por otra parte, I se proporciona un diferente, menos enfoque de "fuerza bruta" en Esta respuesta.