Si$f(z)=z+a_2z^2+...+a_nz^n$ es inyectivo en el disco de la unidad, entonces$|a_2|≤\frac12(n-1)$

Question

Supongamos $f(z)=z+a_2z^2+...+a_nz^n$ es inyectiva en a$D:=\{z:|z|<1\}$. Mostrar que $|a_2|≤(n-1)/2$ e $|a_n|≤1/n$.

Solución Parcial

Suponer sin pérdida de generalidad que $a_n\ne0$. Si $f$ es inyectiva, entonces $f'(z)≠0$ en $D$. Ahora, $$f'(z)=1+2a_2z+...+na_nz^{n-1}$$ By the fundamental theorem of algebra, $$f'(z)=na_n(z-r_1)...(z-r_{n-1})$$ where $r_1,...,r_{n-1}$ are the roots of $f'(z)$, and $$f'(0)=1=na_n(-1)^nr_1r_2...r_{n-1}$$ Note that $|r_i|\geq1$ for each $i=1,...,n-1$, hence $$|r_1r_2...r_{n-1}|\geq1$$ and, finally, $$|a_n|=\frac1{n\,|r_1r_2...r_{n-1}|}\leq\frac{1}{n}$$

Lo que no puedo entender, sin embargo, es cómo probar que $|a_2|≤(n-1)/2$. He tratado de argumentos similares, pero no puedo hacerlo. Todas las sugerencias serán bienvenidos.

Answer 1

Lo averigué. Solo para responder a mi propia pregunta: $$f'(z)=1+2a_2z+\ ...\ +na_nz^{n-1}=na_n(z-r_1)...(z-r_{n-1})$ $ $$\implies2a_2=na_n(r_2r_3...r_{n-1}(-1)^{n-2}+r_1r_3...r_{n-1}(-1)^{n-2}+\ ...\ +r_1r_2...r_{n-2}(-1)^{n-2})$ $ $$ \begin{align} \implies|2a_2| & = n|a_n||r_2r_3...r_{n-1}(-1)^{n-2}+r_1r_3...r_{n-1}(-1)^{n-2}+\ ...\ +r_1r_2...r_{n-2}(-1)^{n-2}|\\ & \leq n\bigl(\frac{1}{n}\bigr)\bigl(|r_2r_3...r_{n-1}(-1)^{n-2}|+|r_1r_3...r_{n-1}(-1)^{n-2}|+\ ...\ +|r_1r_2...r_{n-2}(-1)^{n-2}|\bigr)\\ \end {align} $$ $$\implies |2a_2|\leq1+1+\ ...\ +1=n-1$ $ $$\implies |a_2|\leq\frac{n-1}{2}$ $