Ayuda para encontrar una prueba combinatoria de${kn \choose 2}= k{n \choose 2}+n^2{k \choose 2}$

Question

Hola, he estado tratando de encontrar una manera de encontrar una prueba combinatoria para ${kn \choose 2}= k{n \choose 2}+n^2{k \choose 2}$ .

Answer 1

Sugerencia: Usted quiere recoger $2$ elementos de $k$ cubos de $n$ elementos de cada uno. Usted tiene dos maneras posibles de hacerlo: ya sea que usted elija un cubo, y luego de tomar $2$ elementos de este cubo, o de que usted escoja $2$ baldes y, a continuación, elige un elemento de cada uno de los $2$ cubos.

Answer 2

Considerar un conjunto de $k\cdot n$ elementos asignados en una cuadrícula con $n$ filas y $k$ columnas, a continuación,

• en el lado izquierdo tenemos las formas de elegir los $2$ elementos de entre todos ellos
• en el lado derecho tenemos los casos con 2 elementos choseen de una misma fila $k{n \choose 2}$ y los casos de 2 elementos choseen de una misma columna $n{k \choose 2}$ y en los demás casos con $2$ elementos de la forma elegida diferentes columnas y filas $nk+(n-1)(k-1)$, de hecho

$$k{n \choose 2}+n{k \choose 2}+nk+(n-1)(k-1)=k{n \choose 2}+n^2{k \choose 2}$$

Answer 3

Como una adición a la excelente sugerencia de Daniel Robert-Nicoud, me resulta útil reescribir la igualdad de la siguiente manera:

PS

Al leer la multiplicación como "y luego", y la suma como "o", trata de recuperar la narrativa de Daniel leyendo del lado derecho.

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Con este proceso de pensamiento en mente, intente encontrar una fórmula para $$\binom{kn}{2} = \binom{k}{1}\binom{n}{2} + \binom{k}{2}\binom{n}{1}\binom{n}{1}.$ . ¿Puedes generalizar este patrón?