Diferentes respuestas con $\sec(x) = 2\csc(x)$

Question

Mi hijo y yo estábamos resolviendo esta última noche y obtenemos diferentes respuestas dependiendo de las identidades utilizamos. La pregunta también hizo especificar $0 \leqslant x < 2\pi$

Aquí está nuestro trabajo:

$$\sec x = 2 \csc x$$

$$\frac 1 {\cos x} = \frac 2 {\sin x}$$

cruz multiplicar:

$$2 \cos x = \sin x$$

y la plaza de los dos lados (creo que esto introduce un problema?)

$$4 \cos^2 x = \sin^2 x$$

Ahora hemos utilizado la identidad de $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Vamos a sustituir $\sin x$:

$$4 \cos^2 x = 1 - \cos^2 x$$

$$5 \cos^2 x = 1$$

$$\cos^2 x = \frac 1 5$$

$$\cos x = ±\sqrt{\frac 1 5}$$

$$\cos^{-1}\left(±\sqrt \frac 1 5\right) = 1.10, 2.03$$

Que nos dio dos respuestas dentro del rango solicitado.

Pero vamos a reemplazar $\cos x$ lugar:

$$4 \cos^2 x = \sin^2 x$$

$$4 (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x$$

$$4 - 4 \sin^2 x = \sin^2 x$$

$$4 = 5 \sin^2 x$$

$$\frac 4 5 = \sin^2 x$$

$$±\sqrt \frac 4 5 = \sin x$$

$$\sin^{-1}\left(±\sqrt \frac 4 5\right) = x = 1.1, -1.1$$

Dos respuestas, pero podemos tirar por la negativa de uno, porque no está dentro del rango especificado.

Luego se utilizó el $\tan x$ identidad (que es lo que debería haber hecho, para empezar, ya cuadratura, evidentemente, parece introducir inválida respuestas):

$$\tan x = \frac {\sin x} {\cos x}$$

$$2 \cos x = \sin x$$

$$2 = \sin x / \cos x$$

$$2 = \tan x$$

$$\tan^{-1} 2 = 1.1$$

Así que ahora supongo que $1.1$ es la respuesta correcta. Pero ¿de dónde $-1.1$ e $2.03$ ?

No se muestran en los gráficos:

AH! Pero ¿ se muestran en el cuadrado de la versión, que ahora entiendo es donde el extra respuestas provienen de:

¿Cuál es el error fundamental aquí? ¿Cómo se podía utilizar el método de cuadratura, y luego, al final sabemos que la solución de(s) a tirar como un efecto secundario?

Answer 1

Los dos primeros métodos llevó a $\cos^2x=\frac15$ e a $\sin^2x=\frac45$. Esa es la misma afirmación, ya que $\cos^2x+\sin^2x=1$.

Pero si usted se aplica el $\arccos$ función de a $\pm\dfrac1{\sqrt5}$, que se dan sólo las soluciones que pertenecen al dominio de $\arccos$, que es $[0,\pi]$. Y si se aplica el $\arcsin$ función de a $\pm\dfrac2{\sqrt5}$, que va a dar yo sólo las soluciones que pertenecen al dominio de $\arcsin$, que es $\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]$. Así, usted tendrá que proporcionar el extra de soluciones para su auto. Por ejemplo, si usted usa el $\arcsin$ función y obtener un $\alpha\in\left[-\dfrac\pi2,0\right)$, a continuación, utilice $2\pi+\alpha$ lugar; es también una solución y que pertenece a la derecha del rango.

Finalmente, si usted se está resolviendo una ecuación del tipo $f(x)=g(x)$ e si $x_0$ es tal que $f^2(x_0)=g^2(x_0)$, entonces lo que tienes que hacer es calcular los $f(x_0)$ e $g(x_0)$. Ya sea que r iguales o simétricas. Si son iguales, entonces usted tiene la solución en sus manos. Mantenerlo. De lo contrario, tírela a la basura.

Answer 2

El cuadrado de una ecuación pueden crear soluciones extrañas. Por ejemplo (como un ejemplo trivial), la ecuación de $x=1$ tiene la solución $x=1$, pero si nos cuadrado obtenemos $x^2=1$ que tiene soluciones de $x=1,-1$. Para comprobar que las "soluciones" son de hecho correcta después de la resolución elevando al cuadrado, uno puede simplemente conéctelos de nuevo en la ecuación original: se lanza a aquellos que no son la solución de la ecuación original. Así que para nuestro ejemplo, hemos obtenido $x=1,-1$ "soluciones" después de cuadrar, pero ahora nos enchufe $x=-1$ de nuevo en la ecuación original y encontrar que $1=-1$, por lo que esta no es una solución.

Answer 3

Observe:

<span class="math-container">$$4\cos^2(x)=\sin^2(x) \to 2\cos(|x|)=\sin(|x|)$$</span>

Y la fuente de su problema.

Mientras que <span class="math-container">$\cos(|x|)=\cos (x)$</span>, tenemos que <span class="math-container">$\sin(|x|)=-\sin(x)$</span> <span class="math-container">$x, y esto explica por qué tiene <span class="math-container">$-1.1$</span> como una solución aquí.</span>

Answer 4

1) $a^2 = b^2$ => $a = b$ o $a = - b$

2) $a = b$ => (cuadrado ambos lados) $a^2 = b^2$

La idea aquí es que en el primer caso, usted tiene que $a = -b$, pero en el segundo caso (que es tu caso), su $a^2 = b^2$ inevitablemente añade la $a = -b$ soluciones para su total, que, obviamente, están equivocados ya que la ecuación original es $a = b$

La forma correcta de resolver este problema es hacer esto:

$2\cos(x) - \sin(x) = 0$

$\cos(x)*\frac{2}{\sqrt{1^2+2^2}} - \sin(x)*\frac{1}{\sqrt{1^2+2^2}} = 0$

$\cos(x)*\cos(\arccos(\frac{2}{\sqrt{5}})) - \sin(x)*\sin(\arcsin(\frac{1}{\sqrt{5}})) = 0$

$\cos(x + \arccos(\frac{2}{\sqrt{5}})) = 0$

Supongo que se puede tomar desde aquí