Si yo del tirón una moneda $100$ veces, ¿cuál es la probabilidad de tener un tramo de $30$ coinflips donde al menos $20$ son jefes?

Question

CONTEXTO: Se preguntaba si puedo jugar a $100$ juegos de, ¿cómo de probable es que voy a tener un tramo de $30$ juegos donde creo que estoy bien porque tengo un $67\%$ ratio de ganancias, pero que en realidad sólo tienen un $50\%$ ratio de ganancias (y tengo la suerte).

He hecho los cálculos para averiguar las probabilidades de que un individuo tramo de $30$ coinflips tener al menos $20$ cabezas es de aproximadamente $5\%$ ($0.04937$).

Mi conjetura es que usted puede caber $70$ tramos de $30$ dentro de $100$ coinflips, así que usted podría hacer $1-0.95^{70} = 97\%$. Pero esto es incorrecto, porque la superposición de tramos de $30$ han vinculado las probabilidades (es decir, si coinflips $1$ - $30$ ha $30\%$ cabezas, es imposible que coinflips $5$-$35$ a ha $67\%$ cabezas).

Si alguien es consciente de una fórmula general para esta (para este ejemplo $N=100$, $n=30$, $x=20$, $p_i=0.5$), que sería genial. Gracias.

Answer 1

Como norfair dice, esto no es difícil de simular. Como un ejemplo, en R intentado $100000$ tiempos,

require(matrixStats)
set.seed(2018)
games  <- 100
run    <- 30
target <- 20 
prob   <- 1/2
cases  <- 100000

matdat <- matrix(rbinom(games*cases, 1, prob), ncol=games)
matdatcum <- rowCumsums(matdat)
matdatdiff <- matdatcum[, run:games] - cbind(0,matdatcum[, 1:(games-run)]) 
atleasttarget <- rowSums(matdatdiff >= target)

mean(atleasttarget)       # average number of runs hitting target  
mean(atleasttarget >= 1)  # average proportion hit target at least once

esta simulación sugiere acerca de la $3.49$ como el promedio del número de carreras de alcanzar el objetivo (compare esto con su $0.04937 \times 71 \approx 3.505$ como el valor teórico) y, para responder a su pregunta, acerca de $0.377$ para la proporción de veces que ocurre al menos una vez (el último dígito puede ser $1$ o $2$ out)