¿Esta serie converge en un múltiplo racional de $ \pi ^2$ ?

Question

Si definimos la suma

$$S_2= \sum_ {n_2=1}^ \infty\frac {1}{(n_2)^2} $$

en el que $n_2$ son productos de un número par de factores primarios, junto con 1, por lo que $n_2=1,4,6,...,15,16,21,22,...,24,$ etc., la suma parece para ser un múltiplo racional de $ \pi ^2$ . Por supuesto que converge en comparación con $ \zeta (2).$

La primera $k=9,997,745$ de éstos (incluido 1) suman aproximadamente $ \frac {7 \pi ^2}{60}$ y la proporción $S_k/(7 \pi ^2/60)=0.999999978...$ (hay 7 nueves en este decimal).

Mi prueba no científica es que si Mathematica se aproxima a uno de ellos, tiene una segunda mirada. En este caso miré varias pruebas del problema de Basilea y conexiones con 2 primos $pq$ para ver si había una manera de mostrar esto.

¿Ya se sabe que esto es cierto? Si no, ¿alguien puede demostrarlo? También cualquier comentario sobre la probabilidad de la relación dada la aproximación es bienvenido. ¿Cuánta similitud numérica es suficiente para adivinar de esta manera?

Todavía estoy trabajando en esto, y si encuentro una prueba o una referencia la publicaré.

Answer 1

Considere el producto sobre todos los números primos $$P= \prod_p\left (1+ \frac {1}{p^2} \right )^{-1}= \prod_p\left (1- \frac {1}{p^2}+ \frac {1}{(p^2)^2}+ \dots\right ).$$ Si piensas en cómo se verá un término de esta serie cuando lo multipliques, encontrarás que hay un término $1/n^2$ para cada $n$ con un número par de factores primarios, y un término $-1/n^2$ para cada $n$ con un número de factores primarios de impar. Por lo tanto, encontramos que $P=2S_2- \zeta (2)$ . Ya que conocemos el valor de $ \zeta (2)$ y quieren encontrar el valor de $S_2$ es suficiente para encontrar el valor de $P$ .

Pero observa $$P= \prod_p\left (1+ \frac {1}{p^2} \right )^{-1}= \prod_p\frac {(1-1/p^4)^{-1}}{(1-1/p^2)^{-1}}= \frac { \prod_p (1-1/p^4)^{-1}}{ \prod_p (1-1/p^2)^{-1}}= \frac { \zeta (4)}{ \zeta (2)}= \frac { \pi ^4/90}{ \pi ^2/6}= \frac { \pi ^2}{15}.$$

Comparando esto con lo anterior, $$S_2= \frac {P+ \zeta (2)}{2}= \frac { \pi ^2/15+ \pi ^2/6}{2}= \frac {7 \pi ^2}{60}.$$

Answer 2

Sobre la versión alternativa,

$$ \begin {eqnarray*} \sum_ { \substack {n \geq 1 \\ \omega (n) \text { is even}}}\!\!\!\!\!\! \frac {1}{n^2}&=& \frac {1}{2} \left [ \zeta (2)+ \sum_ {n \geq 1} \frac {(-1)^{ \omega (n)}}{n^2} \right ]= \frac { \pi ^2}{12}+ \frac {1}{2} \prod_ {p} \left (1- \frac {1}{p^2}- \frac {1}{p^4}- \frac {1}{p^6}- \ldots\right ) \\ &=& \frac { \pi ^2}{12}+ \frac {1}{2} \prod_ {p} \frac {p^2-2}{p^2-1}= \frac { \pi ^2}{12} \left [1+ \prod_ {p} \left (1- \frac {2}{p^2} \right ) \right ]= \zeta (2)C_{ \text {Feller-Tornier}} \end {eqnarray*} $$ donde el La constante Feller-Tornier (cerca de $ \frac {2}{3}$ ) está relacionado con la probabilidad para dos enteros consecutivos de estar ambos al cuadrado.