Álgebra homológica nonabelian grupos

Question

Puede álgebra homológica ser hecho con nonabelian grupos? En particular, puede homología o cohomology ser definido en los complejos de la cadena de nonabelian grupos? Sé que Abelian categorías son la opción configuración de álgebra homológica, pero las nociones de kernel y cokernel (que parecen ser todo lo que es necesario definir de homología) parecen tener sentido para nonabelian grupos así, si definimos $\operatorname{coker}(f : G \to H)$ a ser el cociente de $H$ por el subgrupo generado por a$\operatorname{im} f$.

Por ejemplo, dada una secuencia de nonabelian grupos $$ \dotsb \a C_3 \xrightarrow{\partial_3} C_2 \xrightarrow{\partial_2} C_1 \xrightarrow{\partial_1} C_0 \a 0 $$ con $\partial_{n} \circ \partial_{n+1} = 0$, es útil para definir los grupos de homología $H_n(C_\bullet) = \ker \partial_n/N$, donde $N$ es normal en el subgrupo generado por a$\operatorname{im} \partial_{n+1}$? Por útil, me refiero a que si se respeta el álgebra homológica, se constituye en útil a largo exacto de secuencias, todas las cosas habituales.

Answer 1

Un buen ajuste para la generalización de álgebra homológica es que de homológica categorías. Hay un libro sobre el tema, debido a Borceux y Bourn referencias en el artículo vinculado, así como un muy accesible más corto libro por Bourn a solas. La definición es mucho más complejo que el de un abelian de una categoría o de un topos, pero bastante natural con la suficiente explicación.

Más al punto, el concepto subsume grupos, así como otras buenas algebraica de las categorías que tiene un cero de objetos que son "groupish" lo suficiente, tales como anillos, sin unidad y álgebras de Lie, y más exótico, el opuesto a la categoría de punta conjuntos. Sin embargo, estas categorías como unital anillos y monoids (incluso conmutativa monoids) no son homológica, esencialmente debido a que carecen de una lo suficientemente fuerte noción de núcleo. La mayoría de los estándar de los resultados de álgebra homológica en un homológica categoría, incluyendo el lema de la serpiente y el resultado a largo de la secuencia exacta en la homología.

Answer 2

No hay ninguna razón para esperar que esto sea útil, y que yo sepa no. Un resumen conceptual de la forma de pensar acerca de dónde álgebra homológica es el Dold-Kan correspondencia, que dice que nonnegatively graduales de los complejos de la cadena de abelian grupos (por simplicidad) son equivalentes a simplicial abelian grupos, y esta equivalencia envía la homología de grupos de una cadena compleja a la simplicial homotopy grupos de la correspondiente simplicial abelian grupo. ¿Por qué te importa acerca de simplicial abelian grupos es una larga historia, pero la versión corta es que tienen el mismo homotopy teoría topológica abelian grupos.

El Dold-Kan correspondencia es válido más generalmente con abelian grupos sustituido por un abelian categoría, pero no es del todo válida para grupos: simplicial de los grupos (que hav la misma homotopy teoría topológica de los grupos, que son muy interesantes!) son mucho más complicada que la de los complejos de la cadena de grupos.

Answer 3

Tomando el punto de Qiaochu de Yuan, de los complejos de la cadena, al menos los positivos de abelian grupos corresponden a simplicial abelian grupos. Hay una bien definida homotopy teoría de simplicial grupos y esto tiene todo que usted podría querer (y más!). Moore simplicial complejo de un grupo (véase el nLab artículo sobre esto) es una cadena compleja de los grupos (que no necesita ser abelian). Tiene la propiedad de que la imagen del mapa de los límites siempre es un subgrupo normal de modo que usted no necesita tomar normal cierres o cosas por el estilo. Su Homología de grupos son los mismos que los homotopy grupos de la simplicial grupo. Hay largas secuencias exactas etc como usted esperaría.

Hay un Dold-Kan teorema en este caso así, pero los objetos correspondientes a los complejos de la cadena de codificar un montón más de la estructura. Usted puede conseguir una sensación para lo que este extra estructura se encuentra en la nLab entrada en hypercrossed complejos y en el papel: P. Carrasco y A. M. Cegarra, Grupo de teoría Algebraica de los Modelos para Homotopy Tipos, J. Pure Appl. Alg., 75, (1991), 195 – 235.

Finalmente, en respuesta a Hemg Yi comentario, hay un montón de trabajo en la no-abelian extensiones de grupos y es exactamente el cohomology con no abelian coeficientes que desempeñan un papel clave. un simple artículo sobre esto es por Ronnie Brown y yo, En el Schreier la teoría de la no - abelian extensiones: las generalizaciones y cómputos, Proc. Royal Irish Acad. 96, (1996) 213 - 227, lo que puede dar una idea.

Answer 4

Para dar más a fondo la cuestión aquí es un extracto de google scholar con una búsqueda en "Frohlich homológica"' (A. Frohlich fue un conocido trabajador en la teoría algebraica de números):

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No Abelian Álgebra Homológica I. Derivado de Functors y Satélites, Un Fröhlich - Actas de la Sociedad Matemática de Londres, 1961 - Wiley Online Library

El propósito de esta próxima serie de artículos es el desarrollo de una homología (o cohomology) teoría basada en las estructuras no-conmutativa de la adición. El módulo a través de un el anillo, que era hasta ahora el concepto básico de álgebra homológica, aquí ser reemplazado por ...

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Una búsqueda en "Lue homológica" también le da a los artículos pertinentes. Uno de los puntos que sale de sus 1971, 1981 artículos, derivado de Frohlich del trabajo, es que su forma de la construcción de la cohomology es por las clases de representante algebraica de los objetos: por ejemplo, en el caso de los grupos de estos objetos son comúnmente llamados cruzados $n$veces extensiones.

La más usual es en términos de clases de cocycles. A mi parecer, una dificultad aquí es: ¿qué hacer con un cocycle cuando usted tiene? Por el contrario, todo tipo de cosas se pueden hacer con o preguntó acerca de objetos algebraicos.

Esto es relevante para los algebraica de los objetos utilizados en el libro Nonabelian Topología Algebraica, donde, siguiendo a J. H. C. Whitehead, su cruzó los módulos, y lo que ahora se denomina cruzado complejos, y otras estructuras, son usados para modelar algunos homotopy tipos. Uno de los aspectos del enfoque es que las complicaciones de, digamos, un 3-cocycle definición, son, tras el trabajo de J. Huebschmann, poner en los diferenciales de un "libre estándar cruzó la resolución", por lo que el 3-cocycle se convierte en una de morfismos de cruzado complejos; hay muchos homotopical métodos para la construcción de tales morfismos.

Para dar aún más de fondo, tenga en cuenta que en una carta de fecha 02/05/1983 Alexander Grothendieck escribió:

No te dejes sorprender por mi supuesta eficiencia en la excavación de la derecha tipo de nociones – he estado siguiendo, más bien me dejo tirado por delante, por eso mismo hilo fuerte (más o menos: entender no conmutativa cohomology de topoi!) que yo seguía tratando de vender por alrededor de diez o veinte años, sin que nadie dispuesto a `comprar", a saber, para hacer el trabajo. Así por último, me enojó y decidió trabajar por lo menos un esbozo por mí mismo.

Estas fueron sus ideas en "Buscando las Pilas".

Así que creo que todavía hay mucho que asimilar, evaluar y evaluar!